Равенство, тождество, уравнение

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

В предыдущей главе мы пополнили свои знания, касающиеся преобразований числовых выражений и выражений, содержащих переменные. Однако для решения многих задач одного умения преобразовывать выражения недостаточно. Рассмотрим следующую задачу.

Эту задачу можно решить с помощью рассуждений (арифметически) или с помощью линейного уравнения. Повторим и дополним теперь изученное ранее в основной школе относительно уравнений.

Равенствами являются, например, 

5 + 3x = 33,5; \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}; (a + b)(a – b) = a² – b²; \sqrt{3}-\sqrt{1}=\sqrt{2}.

Тождеством будут, например, 

1 + 2 = 3; (a + 1)² = a² + 2a + 1; \frac{s^2-16}{s\left(s+4\right)}=\frac{s-4}{s},    s ≠ 0    s ≠ –4.

Неизвестные в уравнении обозначаются обычно последними буквами латинского алфавита (x, y, z, а также s, t, u, v и т. д.).

Например, если в уравнении ax² + bx + c = 0 считать неизвестным х, то a, b и c будут параметрами, которым можно придавать различные числовые значения, получая все новые уравнения.

Если решением уравнения является любое допустимое значение неизвестного, то это уравнение будет и тождеством. Такое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений. Например, уравнение x² – 1 = (x – 1)(x + 1) является тождеством, а уравнение x² = 1 тождеством не является.

Если уравнение имеет решения, то говорят, что оно разрешимо, в противном случае его называют неразрешимым.

Например, уравнение \frac{3}{x-1}=0 неразрешимо, так как не существует числа, при делении на которое числа 3 получается 0.

Уравнение с одним неизвестным можно в общем виде представить в виде равенства двух выражений f(x) и g(x), т. е. в виде f(x) = g(x).

Например, число 0 не принадлежит области определения уравнения \frac{x+1}{x}=2x, так как при х = 0 выражение \frac{x+1}{x} не имеет смысла. Все остальные действительные числа принадлежат области определения этого уравнения.

Область определения уравнения часто называют областью допустимых значений (неизвестного).