Линейные неравенства с одной переменной

Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”

Линейными неравенствами с одной переменной называются неравенства вида ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 и ax + b ≤ 0.

Неравенства, в том числе и линейные, обычно имеют бесконечное множество решений. Чаще всего множество решений неравенства является некоторым промежутком числовой прямой или же объединением таких промежутков. Такие множества решений можно изображать на числовой прямой.

Числовые промежутки и их обозначения приведены в следующей таблице.

Замечания. 1) Отрезок называют также замкнутым промежутком, а интервал – открытым промежутком. 2) При обозначении промежутков вместо круглых скобок часто пользуются противоположно направленными квадратными скобками: (a; b) = ]a; b[, [0; ∞) = [0; ∞[ и т. п. 3) Часто термин интервал (промежуток) употребляют в более широком смысле, относя к интервалам бесконечные полуинтервалы, а также отрезки.

Так как неравенство чаще всего имеет бесконечное множество решений, то все их проверить невозможно. Поэтому при решении неравенств необходимо пользоваться только такими преобразованиями, которые сохраняют равносильность неравенств, т. е. не изменяют множества решений. Такие преобразования описаны в свойствах 1 – 4.

Пример 1.

Решим неравенство x + 1 < 6x – 4. Перенесем члены, содержащие х, в левую часть, а остальные члены – в правую часть неравенства.

x + 1 < 6x – 4

x – 6x < – 4 – 1

–5x < –5 | : (–5) ⇔ x > 1

Напомним, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

Ответ: x > 1, или (1; ∞), или x ∈ (1; ∞).

Пример 2.

Решим неравенство (x – 1)2 – (x – 1)(x+ 1) < 3 – 2x.

(x – 1)2 – (x – 1)(x+ 1) < 3 – 2x

x2 – 2x + 1 – x2 + 1 < 3 – 2x

–2x + 2x < 3 – 2

0 < 1

Получили верное числовое неравенство. Значит решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: x ∈ R, или –∞ < x < ∞, или x ∈ (–∞; ∞).

Пример 3.

Найдем, какие натуральные числа подходят в качестве решений неравенства \frac{3x-3}{6}+\frac{x+1}{2}\le4.

Данное неравенство содержит дроби, знаменателями которых являются числа. Поэтому сначала избавимся от дробей. Для этого умножим обе части неравенства на их наименьший общий знаменатель, после чего выполним сокращение дробей:

\frac{3x-3}{6}+\frac{x+1}{2}\le4\ |\cdot6

\frac{6\left(3x-3\right)}{6}+\frac{6\left(x+1\right)}{2}\le6\cdot4

3x-3+3\left(x+1\right)\le24

6x\le24\ |\ :\ 6

x\le4

Изобразим полученные решения на числовой прямой. На рисунке видно, что множество решений неравенства составляют натуральные числа 0, 1, 2, 3 и 4.

Замечание. Решите неравенство и другим способом, вынеся сначала за скобки общий множитель числителя первой дроби и затем сократив эту дробь.

Ответ: 0, 1, 2, 3 и 4.

  1. x\in\left(-4;\ 0\right)
  2. x\in\left(-3;\ 2\right]
  3. x\in\left(-∞;\ -2\right)
  4. x\in\left(1;\ 2\right]\ \cup\ x\in\left(4;\ ∞\right)
  1. 3\le x<6
  2. x\ge2
  3. -1\le x\le4
  4. x\le-3\ \cup\ 0\le x<4

Подмножество числовой оси

Запись с помощью неравенств

Подмножество числовой оси

Запись с помощью неравенств

5\left(x-2\right)>2x-8

4\left(5x+3\right)-2\le25x-10

x+\sqrt{2}\ge1+2x

3\left(t-1\right)+6<2\left(t-2\right)+t

\frac{2x-5}{3}\ge-1

4-2\left(x-\frac{1}{2}\right)>2x+3\left(x-3\right)

\frac{2x-1}{3}-\frac{x}{6}-3\le\frac{3x-20}{6}

\frac{3+x}{-2}+\frac{4-x}{-4}<0

\left(2x-1\right)^2>2x\left(2x-2\right)+1

\left(3-5x\right)^2\ge9+5x\left(5x-6\right)

Частное

При каких значениях x частное будет больше 1?

\frac{2x-4}{6}

\frac{5-6x}{-6}

\frac{16x-11}{5}

Частное

При каких значениях x частное будет больше 1?

\frac{-15x+2}{3}

\frac{11x-35}{-2}

\frac{6-8x}{2}

\frac{2x+5}{4}\le\frac{x+4}{3}

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

\frac{x}{2}+3<\frac{x}{4}+4

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

5\left(x+1\right)-x\left(7-x\right)>x^2

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

15x-23\left(x+1\right)>2x+11

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Ответ: длина другой стороны может быть до  м.

Ответ: бассейн можно построить на расстоянии до  км от города.

Ответ: картофель можно купить по цене не более  €/кг.

Ответ: годовой доход отца должен быть не менее  €.

Какова может быть длина поездки на взятой напрокат машине, чтобы выгоднее было бы обратиться к фирме В, чем к фирме A?

Ответ: длина поездки должна быть более  км.

Ответ: эта свеча может гореть до  ч.

Ответ: эта партия должна набрать самое меньшее  % всех голосов.

Ответ: обе трубы можно открыть менее, чем на  мин.

Ответ: Неравенство 2x – 5 > 0 выполнено, если x ∈ . В этом промежутке прямая расположена .

Ответ: значения функции отрицательны, если x ∈ .

Рис. 1.11
  1. 0,5x – 2 > 0
    Ответ: 
  2. –2x + 4 ≤ 0
    Ответ: 
  3. x + 2 > 1
    Ответ: 
  4. -\frac{2}{3}x-2<0
    Ответ: 
Рис. 1.11
  1. -\frac{2}{3}x-2<-2
    Ответ: 
  2. 0,5x – 2 ≤ 0
    Ответ: 
  3. 0,5x-2\ge-\frac{2}{3}x-2
    Ответ: 
  4. –2x + 4 < 2
    Ответ: 

x2 – 8x + 3 – a = 0

Ответ: .

x2 – 12x + a = 0

Ответ: .

x2 – 14x + a – 1 = 0

Ответ: .

x2 + 4x + 5 – a = 0

Ответ: .

Ответ: значения функции y = 0,5(3 – 2x) не превосходят значений функции y = –4x + 6, если .

Seotud sisu
Muud tegevused