Курс „Числовые множества. Выражения. Уравнения и неравенства”
Два выражения, между которыми стоит один из знаков <, >, ≤ или ≥, образуют неравенство.
Так же, как равенства, все неравенства подразделяются на числовые неравенства и неравенства, содержащие переменные.
Неравенства, в которых использованы знаки < или >, называются строгими, а неравенства со знаками ≤ или ≥ – нестрогими.
Нестрогое неравенство х ≥ 2 означает, что значения х могут быть бóльшими 2, но неравенство справедливо и при х = 2. В случае строгого неравенства х > 2 значение х обязательно больше 2.
Неравенство a ≥ 0 означает, что a > 0 или a = 0 (а положительно или равно нулю). Говорят короче: а неотрицательно.
Неравенство a ≤ 0 означает, что a < 0 или a = 0 (а отрицательно или равно нулю). Говорят короче: а неположительно.
Те значения переменной, при подстановке которых в неравенство оно обращается в верное числовое неравенство, называются решениями неравенства. Например, решениями неравенства x > 1 являются все действительные числа, которые больше 1.
 | ||||||
Что произойдет в случае:
- если поменять местами части неравенства?
- если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же положительное (отрицательное) число?
- если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное (отрицательное) число?
Свойства неравенств
1. Если поменять местами правую и левую части неравенства, то знак неравенства изменится на противоположный.
 | ||||||
2. Знак неравенства не изменится, если к обеим его частям прибавить одно и то же число:
a < b ⇔ a + c < b + c.
 | ||||||
Следствие. Слагаемые в неравенстве можно переносить из одной части в другую, изменяя их знаки на противоположные.
a + b > c ⇔ a + b + (–b) > c + (–b) ⇔ a > c – b.
3. Знак неравенства не изменится, если обе его части умножить или разделить на одно и то же положительное число:
a < b ⇔ ac < bc, если c > 0.
4. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
a < b ⇔ ac > bc, если c < 0.
5. Если a < b и b < c, то a < c.
Это можно записать в виде a < b < c – двойное неравенство.
 | |||||||||
Свойства 1−5 числовых неравенств остаются справедливыми и для неравенств с переменными. Под символами a, b и c можно теперь понимать не только числа, но и выражения, содержащие переменные.
Преобразования неравенств, опирающиеся на свойства 1−5, позволяют перейти от данного неравенства к равносильному ему неравенству.
Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, равносильными являются также неравенства, не имеющие решений.
- 3(x – 1) > x + 7
- x2 – 1 < x
- x(x – 4) < x(x + 3)
- –2x + 3(x + 4) ≥ 2(x + 5)
