Соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла

Курс "Тригонометрия"
Рис. 2.15

Будем исходить из прямоугольного треугольника (рис. 2.15).

1. Найдем сначала соотношение между синусом и косинусом одного и того же острого угла.

Так как \sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c} и \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}, то

\left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2+\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2 = \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2}.

Поскольку по теореме Пифагора сумма квадратов катетов в числителе дроби равна квадрату гипотенузы с2, то получим, что \left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2+\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2=\frac{c^2}{c^2}=1, и требуемое соотношение получено.

(sin α)2 + (cos α)2 = 1.

Пример 1.

Найдем cos 25°28', зная, что sin 25°28' ≈ 0,4300.

Выразим из равенства (sin α)2 + (cos α)2 = 1 величину cos α. Получим, что

\cos\mathrm{\alpha}=\sqrt{1-\left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2}.

Поэтому

\cos25\degree28'\approx\sqrt{1-0,43^2}\approx0,9028.

Пример 2.

Упростим выражение \left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2\ :\ \left(1-\sin\mathrm{\alpha}\right) и вычислим его значение, если sin α = 0,5.

Так как \left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2=1-\left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2, то

\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2:\left(1-\sin\mathrm{\alpha}\right) = \frac{\left(\cos\mathrm{\alpha}\right)^2}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = \frac{1-\left(\sin\mathrm{\alpha}\right)^2}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = \frac{\left(1-\sin\mathrm{\alpha}\right)\left(1+\sin\mathrm{\alpha}\right)}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = 1+\sin\mathrm{\alpha}.

Значением данного выражения при sin α = 0,5 будет 1+ sin α = 1+ 0,5 = 1,5.

Выражение (sin α)2 обозначает произведение sin α ⋅ sin α, а выражение cos α)2 – произведение cos α ⋅ cos α. Выражения (sin α)2 и (cos α)2 записывают обычно в упрощенном виде – пишут sin2 α (читается: синус квадрат альфа) и вместо (cos α)2 пишут cos2 α (косинус квадрат альфа). Аналогичный смысл имеют выражения sin3 α, cos4 α и т. п.

Cоотношение (sin α)2 + (cos α)2 = 1 теперь можно записать в виде sin2 α + cos2 α = 1.

2. Найдем соотношения между sin α, cos α и tan α.

Сравним между собой равенства, которыми определяются синус, косинус и тангенс:

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{a}{c}, \cos\mathrm{\alpha}=\frac{b}{c}, \tan\mathrm{\alpha}=\frac{a}{b}.

Очевидно, что \frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}=\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\tan\mathrm{\alpha}.

Полученная формула

tan α=sin αcos α

позволяет найти одну из величин sin α, cos α и tan α, если две другие известны.

Пример 3.

Найдем sin α, если \cos\mathrm{\alpha}=\frac{3}{5}  и \tan\mathrm{\alpha}=\frac{4}{3}.

На основании только что выведенной формулы \tan\mathrm{\alpha}=\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}} получим, что \sin\mathrm{\alpha}=\cos\mathrm{\alpha}\cdot\mathrm{\tan\mathrm{\alpha}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{5}=0,8.

Пример 4.

Упростим выражение tan2 α ⋅ cos α : sin2 α и вычислим его значение при α = 66°25'.

Преобразуем данное выражение:

\tan^2\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\alpha}\ :\sin^2\mathrm{\alpha} = \left(\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}\right)^2\cdot\cos\mathrm{\alpha}\ :\sin^2\mathrm{\alpha} = \frac{\sin^2\mathrm{\alpha}\cdot\cos\mathrm{\alpha}}{\cos^2\mathrm{\alpha}\cdot\sin^2\mathrm{\alpha}} = \frac{1}{\cos\mathrm{\alpha}}.

Так как cos 66°25' ≈ 0,4001, то значением данного выражения будет

​\frac{1}{\cos66\degree25'}\approx\frac{1}{0,4001}\approx2,499.

3. Выведем формулу, связывающую между собой тангенс и косинус угла:

1+\tan^2\mathrm{\alpha} = 1+\left(\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}\right)^2 = \frac{\cos^2\mathrm{\alpha}+\sin^2\mathrm{\alpha}}{\cos^2\mathrm{\mathrm{\alpha}}} = \frac{1}{\cos^2\mathrm{\alpha}}.

Значит,

1+tan2α=1cos2α.

Пример 5.

Упростим выражение (sin α + cos α)2 + (sin α – cos α)2 + 2tan2 α.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

sin2 α + 2sin α cos α + cos2 α + sin2 α – 2sin α cos α + cos2 α +​ 2tan2 α =

= 2(sin2 α + cos2 α) + 2tan2 α = 2(1 + tan2 α) = \frac{2}{\cos^2\alpha}.

Формулы sin2 α + cos2 α =1, tan  =  \tan\mathrm{\alpha}=\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}}, и 1+\tan^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\mathrm{\alpha}} называются основными формулами тригонометрии.

sin2 70° + cos2 70° = 

sin2 28°52' + cos2 28°52' = 

–sin2 33° – cos2 33° = 

sin2 (90° – α) + cos2 (90° – α) = 

3sin2 10° + 3sin2 80° = 

sin2 (90° – α) + sin2 α = 

sin α = 0,8

sin α = 0,12

cos α = 0,85

cos α = 

cos α = 

sin α = 

\sin\mathrm{\alpha}=\frac{11}{29}

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{1}{5}

\cos\mathrm{\alpha}=\frac{2}{3}

cos α = 

sin α = 

sin α = 

sin α = 0,45

sin α = 0,75

cos α = 0,1

cos α = 

cos α = 

sin α = 

значение sin2 α – cos2 α, если cos α = 0,3.

Ответ: значение выражения равно .

значение cos2 α – sin2 α, если sin α = 0,6.

Ответ: значение выражения равно .

1 – cos2 α = 

sin2 α – 1 = 

sin2 α – sin4 α = 

\cos^2\mathrm{\alpha}\cdot\left(1+\frac{\sin^2\mathrm{\alpha}}{\cos^2\mathrm{\alpha}}\right) = 

\frac{1-\cos^2\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}} = 

\frac{\cos^2\mathrm{\alpha}}{1-\sin\mathrm{\alpha}} = 

sin2 33° + cos2 33° – cos2 32° + sin2 58° = 

1 – sin2 60° + cos2 30° – cos2 45° = 

sin2 12° + sin2 78° – sin2 19° ⋅ sin 71° : cos 19° = 

Ответ: cos 23°4' = .

sin α

cos α

tan α

0,9

0,2

5

sin α

cos α

tan α

0,06

0,12

1,6

sin α ⋅ tan α + cos α = 

\tan\mathrm{\alpha}-\frac{\sin^3\mathrm{\alpha}}{\cos\mathrm{\alpha}} = 

cos α tan α – sin α = 

1-\frac{\tan^2\mathrm{\alpha}}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} = 

sin2 α (1 + tan2 α) = 

\frac{1}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}}+\sin^2\mathrm{\alpha} = 

(1 + tan2 α) sin2 α + 1 = 

cos2 α (1 + tan2 α) = 

\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{1-\cos\mathrm{\alpha}}-\frac{1+\cos\mathrm{\alpha}}{\sin\mathrm{\alpha}} = 

1 – tan2 (90° – α) cos2 (90° – α) = 

  1. cos2 α только через tan α;

    Ответ: cos2 α = .
  2. sin2 α только через tan α.

    Ответ: sin2 α = .
Seotud sisu
Muud tegevused