Курс "Тригонометрия"
В предыдущем параграфе мы узнали, как вычислить значения sin α, cos α и tan α для заданного острого угла α. Выясним теперь, как решить обратную задачу: найти острый угол α, если известна одна из величин sin α, cos α или tan α.
На калькуляторе для этого есть клавиши arcsin, arccos, arctan или sin–1, cos–1, tan–1.
На некоторых калькуляторах следует использовать одну из комбинаций клавиш: arc sin, arc cos, arc tan или INV sin, INV cos, INV tan.
Пример 1.
Найдем угол α, если cos α = 0,7065.
В зависимости от типа калькулятора вычисления пройдут, например, по схеме
0,7065 cos–1 или по схеме 0,7065 INV cos или cos–1 0,7065 ENTER.
На экране появится угол в градусах 45,04915°, который выразим в градусах и минутах. Для этого запишем в тетрадь 45, а на калькуляторе вычтем 45° из имеющегося там угла. На экране останется дробная часть угла 0,04915°, которую мы умножим на 60 (так как 1° = 60′), после чего получим на экране 2,949′. В тетради после градусов запишем 3′, так как у нас 9 десятых долей минуты. Таким образом α ≈ 45°3′.
Часто требуется охарактеризовать наклонную дорогу, склон горы, лестницу и т. п. степенью их крутизны, подъема или наклона. Для этого пользуются либо так называемым углом наклона (рис. 2.9), т. е. углом между поднимающимся (или опускающимся) объектом и горизонтальной поверхностью, либо тангенсом этого угла, который называется угловым коэффициентом (наклона или спуска). Угловой коэффициент обычно обозначают буквой k (иногда его называют просто наклоном). Таким образом,
k = tan α,
где α – угол наклона.
Угловой коэффициент наклона k дает, как правило, больше полезной информации, чем угол наклона. Например, если возле дороги установлен один из изображенных на рисунке 2.10 дорожных знаков, то первый из них показывает, что дорога имеет подъем (12%), а второй – что она имеет спуск (10%). В первом случае этот знак означает, что на протяжении каждых 100 метров дорога поднимается на 12 метров (k = 0,12), во втором случае – на каждые 100 метров приходится понижение уровня дороги на 10 метров (k = 0,10). По угловому коэффициенту можно найти угол наклона дороги (подъем 6°51′ или спуск 5°43′), однако этот угол дает водителю автомобиля меньше нужной информации, чем угловой коэффициент, выраженный в процентах.
Важное место в математике занимает решение прямоугольных треугольников, т. е. нахождение неизвестных углов и сторон (или, как говорят короче, неизвестных элементов) треугольника. Иногда при этом предлагается найти и площадь треугольника.
Некоторые из подобных задач мы уже решали в примерах 3 и 4 предыдущего параграфа.
Пример 2.
Решим прямоугольный треугольник и найдем его площадь, если его катеты a = 13 дм и b = 11 дм.
Получим:
c=\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{13^2+11^2} =\sqrt{169+121} =\sqrt{290} ≈17,03\ \mathrm{\left(дм\right);} \tan\mathrm{\mathrm{\alpha}}=\frac{a}{b}=\frac{13}{11}\approx1,1818 ;\mathrm{\alpha}\approx49\degree46'; \mathrm{\beta}=90\degree-49\degree46'=40\degree14' ;S=\frac{ab}{2}=\frac{13\cdot11}{2}=71,5\ \mathrm{\left(дм^2\right).}
Ответ: c ≈ 17,0 дм, α ≈ 49°46', β ≈ 40°14', S = 71,5 дм2.
Путем решения прямоугольных треугольников можно находить величины, недоступные для непосредственного измерения, а также решать многие другие геометрические задачи.
Пример 3.
Чтобы измерить ширину водоема между точками A и B (рис. 2.11), на берегу отмечают так называемую базу. Пусть это будет отрезок CB = 100 м, перпендикулярный отрезку AB. Найдем ширину AB водоема, если γ = 71°.
Ответ: ширина водоема 290 м.
В прямоугольном треугольнике ABC дано, что CB = 100 м и γ = 71°. Поэтому tan 71° = , откуда AB = 100 · tan 71° ≈ 290 (м).
Пример 4.
Сторона ромба (рис. 2.12) равна 10 см и один из углов 76°. Найдем площадь ромба.
Дано: а = 10 см и α = 76°. Так как ромб – это параллелограмм с равными сторонами, то его площадь можно вычислить по формуле S = ah. Найдем из прямоугольного треугольника высоту h.
Так как
h = a ⋅ sin α = 10 ⋅ sin 76° ≈ 10 ⋅ 0,9703 ≈ 9,70 (см).
Значит, S = 10 ⋅ 9,7 = 97 (см2).
Ответ: угловой коэффициент такой лестницы равен
Ответ: круче лестница.
Ответ: длина моста равна
Ответ: расстояние от корабля до маяка равно
Ответ: угол падения солнечных лучей равен
Ответ: высота трубы равна
Ответ: путь до станции укоротился на
Ответ: самолет должен начать снижение на расстоянии
Ответ: второй катет равен
Ответ: S =
Ответ: сторона ромба равна
Ответ: углы ромба равны
Ответ: S =
