Курс "Тригонометрия"
В математике положительным направлением вращения считается направление против движения часовой стрелки. Отрицательным направлением считается направление вращения, совпадающее с направлением движения часовой стрелки (рис. 2.16).
 Рис. 2.16 | ||||||
 Рис. 2.17 | ||||||
Например, на рисунке 2.17 шестерня А вращается в отрицательном, а шестерня В – в положительном направлении.
Рассмотрим рисунки 2.18 и 2.19. Повернем на рисунке 2.18 луч АВ вокруг точки А на 30° в положительном направлении, а луч DЕ на рисунке 2.19 – вокруг точки D на 45° в отрицательном направлении. Начальное положение луча, с которого начинается вращение (AВ и DЕ), называется начальной стороной угла (или неподвижной стороной), а конечное положение (АC и DF) – конечной стороной угла (или подвижной стороной).
Поскольку угол BАC образуется при повороте луча в положительном направлении, то его естественно назвать положительным углом и записывать α = 30°. Угол EDF, образованный вращением луча в отрицательном направлении, называется отрицательным углом. Величину отрицательного угла выражают отрицательным числом β = –45°.
На чертежах положительные и отрицательные углы обозначаются дугой со стрелкой, указывающей направление поворота (рис. 2.18 и 2.19).
Будем вращать луч вокруг начальной точки О в положительном направлении (см. рис. 2.20). Тогда в каждый момент времени этот луч образует некоторый угол со своим первоначальным направлением. Например, в положении OB луч, вращающийся в положительном направлении, составляет с начальным положением OA угол AOB, равный 60°. Чтобы снова оказаться в первоначальном положении OA (рис. 2.20) луч должен пройти угол в 360°.
 Рис. 2.20 | ||||||
 Рис. 2.21 | ||||||
Таким образом,
полный угол равен 360°.
При дальнейшем вращении возникают углы, бóльшие 360°. Так, положение OB (рис. 2.20) означает при втором повороте луча угол в 60° + 360° = 420°, при третьем повороте – угол в 60° + 2 · 360° = 780° и т. д.
Наши рассуждения показывают, что в случае положительных углов на одном и том же чертеже могут быть изображены углы разной величины, отличающиеся на целое число полных оборотов, т. е. на k ⋅ 360° (k = 0, 1, 2, 3, ...). Всякий положительный угол можно записать в виде
α + k · 360°, где 0° ≤ α < 360° и k = 0, 1, 2, 3, ....
Пример 1.
Представим в указанном выше виде угол 1132°.
Так как 1132 : 360 = 3, остаток 52, то 1132° = 52° + 3 ⋅ 360°, α = 52°, k = 3.
 Рис. 2.22 |
||||||||
Отрицательные углы также можно записать в виде α + k ⋅ 360°, где 0° ≤ α < 360°. Для этого рассмотрим углы, полученные при вращении минутной стрелки часов (рис. 2.22). За начальную сторону угла примем положение OA. Чтобы прийти в положение OB, стрелка должна пройти угол AOB = –210°. Закончив первый оборот, стрелка часов пройдет угол –360°. При дальнейшем вращении стрелки получаются: –210° – 360° = –570° или (360° – 210°) – 2 ⋅ 360° = 150° – 2 ⋅ 360°, –210° – 2 ⋅ 360° = –970°, или (360° – 210°) – 3 ⋅ 360° = 150° – 3 ⋅ 360° и т. д.
Значит, в случае отрицательного угла на одном и том же чертеже могут быть изображены углы разной величины, отличающиеся на k ⋅ 360° (k = –1, –2, –3, ...). Поэтому и всякий отрицательный угол можно представить в виде α + k ⋅ 360°, где 0° ≤ α < 360° и k = –1, –2, –3, …
Пример 2.
Представим в описанном выше виде угол –820°.
Так как 820 : 360 = 2, остаток100, то
–820° = –100° – 2 ⋅ 360° = (360° – 100°) – 3 ⋅ 360° = 260° + (–3) ⋅ 360°; где α = 260° и k = –3.
Сравнивая общие выражения для записи положительных и отрицательных углов, мы видим, что разница только в значениях целого числа k. Значит,
всякий угол х можно записать в виде x = α + n ⋅ 360°, где 0° ≤ α < 360° и n ∈ Z.
- вращается левое колесо автомобиля, если смотреть слева;
- вращается правое колесо автомобиля, если смотреть справа;
- нужно повернуть крышку пластиковой бутылки, чтобы открыть ее;
- вращается Земля, если смотреть со стороны северного полюса;
- нужно повернуть гайку, чтобы закрутить ее;
- едут автомобили по площади с круговым движением;
- бегут спортсмены по стадиону;
- пронумерованы четверти координатной плоскости?
5 минут? | |
8 минут? | |
33 минуты? | |
13 минут? | |
28 минут? | |
1 минуту? |
Ответ: за 1 секунду шкив поворачивается на
Многоугольник | Правильный пятиугольник | Правильный шестиугольник | Правильный семиугольник | Правильный 12-угольник |
Внутренний угол |
β =
γ =
x = 15° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °.
x = –300° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °.
x = –10° + n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °.
x = (–1)n ⋅ 120°+ n ⋅ 360°
x1 = °; x2 = °; x3 = °; x4 = °.
