Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"
1. Из курса основной школы мы знаем, что числовая ось – это прямая, на которой отмечено начало отсчета (нуль), единичный отрезок и положительное направление (рис. 3.1).
Каждой точке числовой оси соответствует одно действительное число, и обратно: всякому действительному числу соответствует изображающая это число точка на числовой оси. Например, на рисунке 3.2 точке A соответствует число –5, точке B – число –1,5, точке O – число
Эти числа называются координатами точек, что записывается так: A(–5), B(1,5),
Зная координаты двух точек на числовой оси, можно найти длину отрезка, соединяющего эти точки, или расстояние между этими точками. Например, длина отрезка CD на рисунке 3.2 равна 4,3 − 2 = 2,3,
если A(x1) и B(x2), то длина отрезка AB равна модулю разности координат точек А и В, т. е. AB = |x2 – x1|.
Модуль разности нужно брать потому, что возможны как случай x2 ≥ x1, так и случай x2 < x1.
Пример 1.
На рисунке 3.2 дано, что B(–1,5) и D(4,3). Так как 4,3 > –1,5, то длиной отрезка BD будет
BD = 4,3 – (–1,5) = 4,3 + 1,5 = 5,8.
Если же концами отрезка являются точки E(1) и F(1 + a), то
EF = |1 + a –1| = |a|,
так как мы не знаем, каково число а, т. е. a ≥ 0 или a < 0.
Пример 2.
Концами отрезка являются точки A(−18) и B(24). Найдем координату х точки С – середины этого отрезка.
Так как –18 < x < 24 и AC = CB, то x – (–18) = 24 – x, откуда 2x = 6 и x = 3. Следовательно, серединой отрезка AB является точка C(3).
По образцу предыдущего примера выведем формулу для вычисления координаты х середины С отрезка АВ, если концами отрезка являются точки A(x1) и B(x2), причем можно считать, что x1 < x2. Так как AC = CB, то x – x1 = x2 – x, откуда
.
Значит,
координата середины отрезка числовой прямой равна среднему арифметическому координат концов этого отрезка.
Пример 3.
Если концами отрезка являются точки M(–32) и N(–48), то координатой середины С этого отрезка будет
Серединой отрезка MN является точка C(–40).
Ответ: AB =
Ответ: начиная с точки A координатами этих точек будут:
(
2. Для определения расположения точки на плоскости пользуются прямоугольной системой координат (рис. 3.3).
Эта система задается с помощью двух взаимно перпендикулярных числовых осей (ось Ох, или ось абсцисс, и ось Оу, или ось ординат), пересекающихся в точке, которая является началом отсчета, т. е. нулем, для обеих осей. Положительные направления на осях выбирают так, чтобы при повороте оси Ох на 90° против часовой стрелки (в математике это положительное направление поворота) эта ось совмещалась с осью Оу. Единичные отрезки на осях чаще всего выбирают равными.
Тогда каждой точке плоскости соответствует упорядоченная пара чисел, называемых координатами точки, и обратно: каждой паре чисел соответствует однозначно определенная точка плоскости.
Например, на рисунке 3.3 точке А соответствует числовая пара (–3; 5), а паре чисел (–3; 5) – точка А. Так же обстоит дело с точками B(4; 2), C(–5; –5), D(5; 3), O(0; 0).
Напомним, что упорядоченность рассматриваемых числовых пар является важным условием. На рисунке 3.3 парам (–3; 5) и (5; –3) соответствуют различные точки A и D, поскольку первая координата является абсциссой точки и отсчитывается на оси Ох, а вторая – ординатой точки, отсчитываемой на оси Оу.
Таким образом, прямоугольная система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.
Пример 4.
Найдем длину отрезка AB, если A(-2; 1), B(3; 1) (рис. 3.4).
Отрезок AB параллелен оси Ох. Поэтому фигура ABB'A' является прямоугольником и AB = A'B'. Так как точки A' и B' расположены на оси Ох, то AB = A'B' = 3 − (−2) = 5.
 Рис. 3.4 | ||||||
Пример 5.
Найдем точку, симметричную точке P(3; 2) на рисунке 3.5 относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат O.
- Пусть точкой, симметричной точке P(3; 2) относительно оси Ох, является точка P1. Тогда отрезок PP1 перпендикулярен оси абсцисс. Поэтому точки Р и P1 имеют общую абсциссу, т. е. 3. Так как точки Р и P1 расположены на одинаковом расстоянии от оси Ох, но точка P1 расположена в отрицательном направлении, то ордината точки Р1 равна –2. Искомой точкой является P1(3; –2).
 Рис. 3.5 | ||||||
- Аналогично найдем точку Р2, симметричную точке Р относительно оси Оу. Этой точкой является точка P2(–3; 2).
- Пусть точка P3 симметрична точке Р относительно начала координат О (и, значит, P3O = OP). Тогда из равенства прямоугольных треугольников OPA, OP1A, OP1B и OP3B следует, что точки Р3 и Р1 симметричны относительно оси ординат. Поскольку P1(3; –2), то P3(–3; –2).
Плоскость, на которой задана система координат, или координатные оси, называется координатной плоскостью.
Рассмотренная система координат носит также название декартовой системы координат (или декартовой прямоугольной системы координат, см. рис. 3.6). Кроме нее существует много других координатных систем.
3. Использование системы координат, или координатного метода, позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами.
Пример 6.
Тремя вершинами прямоугольника являются A(−1; 4), B(5; 4), C(5; −2). Найдем четвертую вершину и периметр прямоугольника (рис. 3.7).
Пусть четвертой вершиной является точка D(х; у). Так как отрезок BC перпендикулярен оси Оx (точки B и C имеют равные абсциссы), то и отрезок AD перпендикулярен оси Оx. Поэтому точка D имеет ту же абсциссу, что и точка A, т. е. x = −1.
Аналогично получим, что отрезок DC перпендикулярен оси Оy, значит, точки D и C имеют равные ординаты, т. е. у = –2. Следовательно, искомой вершиной будет D(–1; –2).
 Рис. 3.7 | ||||||
По образцу примера 4 получим, что AB = A1B1 = 5 – (–1) = 6 и DA = D2A2 = 4 – (–2) = 6. Следовательно, прямоугольник является квадратом и его периметр равен 4 · 6 = 24.
Пример 7.
Прямая перпендикулярна оси ординат и пересекает ее в точке с координатой –2. Найдем, каковы координаты точек этой прямой.
Если прямая перпендикулярна оси ординат (рис. 3.8), то все точки этой прямой (например, точки A, B, C) имеют одну и ту же ординату, так как для нахождения ординаты точки нужно опустить перпендикуляр на ось ординат. В данном случае ординаты всех точек прямой равны –2. На абсциссу x точки не накладывается никаких ограничений, т. е. x ∈ R. Таким образом, все точки данной прямой – это точки с координатами (x; −2), где x ∈ R.
Пример 8.
Найдем на координатной плоскости множество всех точек, у которых абсцисса х = 3, а ордината y удовлетворяет условиям –1 ≤ y ≤ 2.
Точки искомого множества расположены на прямой MN (рис. 3.8), так как только для точек этой прямой выполнено равенство x = 3. Поскольку ординаты y нужных точек удовлетворяют неравенствам –1 ≤ y ≤ 2, то все эти точки заполняют изображенный на рисунке отрезок MN (считая и концы этого отрезка). Итак, условия x = 3 и –1 ≤ y ≤ 2 определяют на плоскости отрезок с концами M(3; −1) и N(3; 2).
 Рис. 3.9.1 |  Рис. 3.9.2 |
 Рис. 3.9.3 |  Рис. 3.9.4 |
 Рис. 3.9.5 |  Рис. 3.9.6 |
 Рис. 3.9.7 |  Рис. 3.9.8 |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
Ответ: четвертой вершиной является точка D(
Ответ: α =
- s:
- t:
- u:
- v:
Ответ: координатами вершин прямоугольника являются
