Вычитание векторов

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"
Рис. 3.26

Две различные точки A и B определяют два разных вектора – вектор \overrightarrow{AB} и вектор \overrightarrow{BA} (рис. 3.26). Эти векторы коллинеарны и равны по длине, но имеют противоположные направления. Такие векторы называются взаимно противоположными векторами.

Вектором, противоположным данному, называется вектор, имеющий с ним одинаковую длину, но противоположное направление.

Если вектор \overrightarrow{AB} (рис. 3.26) обозначен символом \vec{a}, то противоположный ему вектор \overrightarrow{BA} обозначается -\vec{a}.

Сложив противоположные векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{BA} по правилу треугольника (рис. 3.26), получим, что начало А вектора \overrightarrow{AB} и конец А вектора \overrightarrow{BA} совпадают. Поэтому суммой будет вектор \overrightarrow{AA}, вырождающийся в точку. Длина такого вектора равна нулю.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается символом 0→.

Таким образом, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}, или \vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}.

Нулевой вектор (по существу точка) не имеет определенного направления, поэтому (если возникнет необходимость) будем считать, что он коллинеарен любому вектору и сонаправлен с любым вектором.

Имеет место равенство:

a→+0→=a→.

В самом деле, левую часть равенства можно рассматривать как сумму \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB} (рис. 3.26), а эта сумма равна вектору \overrightarrow{AB}, т. е. \vec{a}.

Разностью \vec{c}-\vec{a} векторов \vec{c} и \vec{a} (рис. 3.27) называется такой вектор \vec{x}, который в сумме с вектором \vec{a} дает вектор \vec{c}. Таким образом, \vec{x}=\vec{c}-\vec{a}  означает, что \vec{a}+\vec{x}=\vec{c}.

Рис. 3.27

x→=c→-a→, если a→+x→=c→.

На рисунке 3.27 \vec{x}=\vec{c}-\vec{a}, так как \vec{a}+\vec{x}=\vec{c}. Ясно также, что \vec{x}=\overrightarrow{DA}+\vec{c}.

Поскольку \overrightarrow{DA}=-\vec{a}, то \vec{x}=\left(-\vec{a}\right)+\vec{c}=\vec{c}+\left(-\vec{a}\right). Следовательно,

c→-a→=c→+-a→.

Практическая ценность полученного состоит в том, что

для нахождения разности векторов \vec{c} и \vec{a} можно к вектору \vec{c} прибавить вектор, противоположный вектору \vec{a}.

Пример.

На рисунке 3.28 даны векторы \vec{a} и \vec{b}. Найдем вектор \vec{a}-\vec{b}. Для этого начертим еще раз вектор \vec{a} и приложим к его концу вектор -\vec{b}, противоположный вектору \vec{b}. Суммой этих векторов и будет искомый вектор \vec{a}+\left(-\vec{b}\right)=\vec{a}-\vec{b}.

Рис. 3.28

Вектор -\vec{a} противоположен вектору \vec{a}. Какой вектор противоположен вектору -\vec{a}?

Ответ: вектору-\vec{a} противоположен вектор .

Что означает равенство -\left(-\vec{a}\right)=\vec{a}?

На рисунке 3.24 изображен правильны шестиугольник, на котором отмечены векторы \vec{a} и\vec{b}. Выразите через векторы \vec{a} и\vec{b} следующие векторы.

Рис. 3.24

\overrightarrow{DE} = 

\overrightarrow{DC} = 

\overrightarrow{OB} = 

\overrightarrow{CF} = 

  1. \vec{a}-\vec{0} = 
  2. \vec{0}-\vec{a} = 

Начертите произвольные векторы \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f} и найдите возможно более простым способом вектор \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d}+\vec{e}-\vec{f}.

Найдите, с какой силой и в каком направлении тянет лодку второй мальчик, если первый тянет с силой \overrightarrow{F_1}, а результирующая сила равна \overrightarrow{F}.

Рис. 3.29

Seotud sisu
Muud tegevused