Скалярное произведение векторов

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"
Joon. 3.42

Допустим, что тело прошло путь от точки B до точки C под действием силы \overrightarrow{F} (рис. 3.42). Так как вектор силы \overrightarrow{F} образует с направлением движения BC острый угол φ, то работа производится только имеющей направление движения составляющей \overrightarrow{P} силы \overrightarrow{F}. Следовательно, работа А, выполненная силой \overrightarrow{F}, есть: A=BC\cdot\left|\overrightarrow{P}\right|.

Поскольку направление движения и длина пройденного пути определены вектором \overrightarrow{BC}, то BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|. Величина \left|\overrightarrow{P}\right| силы  \overrightarrow{P} выражается через силу \overrightarrow{F} так: \left|\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi. Поэтому работа А, выполненная при перемещении тела из точки В в точку С под действием силы \overrightarrow{F}, равна

A=\left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{P}\right| = \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi.

Работа \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi полностью определяется векторами \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{F}. Поэтому произведение \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{F}\right|\cdot\cos\varphi естественно назвать скалярным произведением этих векторов. Скалярное произведение векторов обозначается символом \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{F}. Таким образом,

A=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{F}.

Joon. 3.43

Рассмотрим скалярное произведение двух произвольных векторов \vec{a} и \vec{b}. Углом φ между векторами \vec{a} и \vec{b} будем считать тот, который не больше развернутого, т. е. o° ≤ φ ≤ 180° (рис. 3.43).

Скалярным произведением a→·b→ векторов a→ и b→ называется произведение длин  a → MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLNCPf gzGaLCVbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgarqqr1ngBPrgifHhDYfgasaac H8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8GqpG 0xir=xcvk9pIe9v8qqaq=dir=f0=yqaqVeLsFr0=vr0=vr0db8meqa beqadiGacaGaaeqabeqabeqadaaakeaadaabdaqaamaaFiaabaGaam yyaaGaay51GaaacaGLhWUaayjcSdaaaa@3C80@ и  b → MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLNCPf gzGaLCVbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgarqqr1ngBPrgifHhDYfgasaac H8qrps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8GqpG 0xir=xcvk9pIe9v8qqaq=dir=f0=yqaqVeLsFr0=vr0=vr0db8meqa beqadiGacaGaaeqabeqabeqadaaakeaadaabdaqaamaaFiaabaGaam OyaaGaay51GaaacaGLhWUaayjcSdaaaa@3C81@  этих векторов на косинус угла между ними.

a→·b→=a→·b→·cos φ

или

\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\ \cos\varphi, где a=\left|\vec{a}\right| и b=\left|\vec{b}\right|.

Так как o° ≤ φ ≤ 180°, то cos φ может быть как положительным (если o° ≤ φ < 90°), так и отрицательным (если 9o° < φ ≤ 180°). Поэтому и скалярное произведение \vec{a}\cdot\vec{b} может быть как положительным, так и отрицательным (а также нулем, если φ = 90° или хотя бы один из векторов является нулевым вектором).

Пример 1.

Если \left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8 и угол φ между векторами \vec{a} и \vec{b} равен 60°, то

\vec{a}\cdot\vec{b} = 5\cdot8\cdot\cos60° = 40\cdot0,5 = 20.

Пример 2.

Если \left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=8 и φ = 134°26', то

\vec{a}\cdot\vec{b} = 5\cdot8\cdot\cos134°26' ≈ -28,0.

Вычислите скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b}.

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=6, φ = 60°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=1, \left|\vec{b}\right|=1, φ = 57°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=12, \left|\vec{b}\right|=5, φ = 143°48'
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=13, φ = 90°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

Вычислите скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b}.

\left|\vec{a}\right|=4,2, \left|\vec{b}\right|=10, φ = 135°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=9, \left|\vec{b}\right|=2, φ = 89°12'
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=5, \left|\vec{b}\right|=2, φ = 30°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=36, \left|\vec{b}\right|=0,1, φ = 180°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}\cdot\vec{b}, если φ = 90°

Ответ: \vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}\cdot\vec{b}, если \vec{a}=\left(0;\ 2\right) и \vec{b}=\left(3;\ 0\right)

Ответ: \vec{a}\cdot\vec{b} = 

Seotud sisu
Muud tegevused