Следствия из определения скалярного произведения векторов

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Из определения скалярного произведения

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi

можно вывести следствия, касающиеся величины этого произведения и взаимного расположения векторов \vec{a} и \vec{b}.

Joon. 3.44

1. Если векторы \vec{a} и \vec{b} сонаправлены (т. е. φ = 0°, рис. 3.44), то скалярное произведение этих векторов равно произведению их длин.

В самом деле, если φ = 0° , то cos φ = 1, откуда \vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|.

Частным случаем этой ситуации является произведение, в котором \vec{b}=\vec{a}. Скалярное произведение \vec{a}\cdot\vec{a} называется скалярным квадратом вектора \vec{a} и обозначается символом \vec{a}^2. Найдем его: 

\vec{a}\cdot\vec{a}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{a}\right|\cdot\cos0°=\left|\vec{a}\right|^2. 

Таким образом,

скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора, т. е. a→2=a→2.

Если \vec{a}=\left(X;\ Y\right), то \left|\vec{a}\right|=\sqrt{X^2+Y^2} и \vec{a}^2=\left|\vec{a}\right|^2=X^2+Y^2.

Пример 1.

Если \vec{a}=\left(-10,4;\ 7,8\right), то \vec{a}^2=\left(-10,4\right)^2+7,8^2=169.

2. Если векторы \vec{a} и \vec{b} противоположно направлены (т. е. φ = 180°),то скалярное произведение векторов равно взятому со знаком «минус» произведению длин этих векторов. 

Действительно, в этом случае

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos180° = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\left(-1\right) = -\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|.

3. Признак перпендикулярности векторов \vec{a} и \vec{b}:

два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т. е.
​a→⊥b→⇔a→·b→=0.

Выражение тогда и только тогда означает справедливость утверждений «в обоих направлениях»:

  1. если векторы \vec{a} и \vec{b} взаимно перпендикулярны, то \vec{a}\cdot\vec{b}=0:
    ​\vec{a}\perp\vec{b}\ \Rightarrow\ \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
  2. обратно, если \vec{a}\cdot\vec{b}=0, то векторы \vec{a} и \vec{b} взаимно перпендикулярны: 
    ​\vec{a}\cdot\vec{b}=0\ \Rightarrow\ \vec{a}\perp\vec{b}.

В справедливости этих утверждений нетрудно убедиться:

  1. если \vec{a}\perp\vec{b}, то φ = 90° и \vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos90° = \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot0 = 0.
  2. если \vec{a}\cdot\vec{b}=0, то \left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi=0. Так как векторы ненулевые, то \left|\vec{a}\right|\ne0 и \left|\vec{b}\right|\ne0, следовательно, \cos\varphi=0, откуда \varphi=90°, т. е. векторы \vec{a} и \vec{b} взаимно перпендикулярны.

Пример 2.

Найдем скалярное произведение векторов \vec{a}=\left(8;\ 0\right) и \vec{b}=\left(0;\ 6\right).

Приложив эти векторы к началу координат, получим, что вектор \vec{a} расположен на оси Ох, а вектор \vec{b} – на оси Оу. Следовательно, угол \varphi=90°.

Так как \left|\vec{a}\right|=\sqrt{8^2+0^2}=8 и \left|\vec{b}\right|=\sqrt{0^2+6^2}=6, то \vec{a}\cdot\vec{b} = 8\cdot6\cdot\cos90° = 48\cdot0 = 0.

Найдите скалярное произведение \vec{a}\cdot\vec{b}.

\left|\vec{a}\right|=3,5, \left|\vec{b}\right|=4, φ = 150°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=0,6, φ = 0°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=4, \left|\vec{b}\right|=0,6, φ = 180°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\left|\vec{a}\right|=10, \left|\vec{b}\right|=2,8, φ = 60°
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{a}=\left(-3;\ 0\right), \vec{b}=\left(0;\ -7\right)
\vec{a}\cdot\vec{b} = 

\vec{i}\cdot\vec{j} = 

\vec{j}\cdot\vec{i} = 

\vec{i}^2 = 

\vec{j}^2 = 

\left|\vec{a}\right|=8
\vec{a}^2 = 

\left|\vec{c}\right|=1,5
\vec{c}^2 = 

\vec{a}=\left(-3;\ 4\right)
\vec{a}^2 = 

\vec{a}=\left(-2;\ 7\right)
\vec{a}^2 = 

\vec{b}=\left(0;\ 9\right)
\vec{b}^2 = 

\vec{g}=\left(-4;\ 0\right)
\vec{g}^2 = 

Seotud sisu
Muud tegevused