Совпадающие и параллельные прямые

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Рассмотрим теперь, как с помощью уравнений двух прямых определить, прямые совпадают или они параллельны.

Рис. 3.52

Совпадающие прямые.

1) Прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ совпадают тогда и только тогда, когда

k₁ = k₂ и b₁ = b₂,

поскольку эти условия означают, что прямые имеют одинаковые углы наклона (tan α₁ = tan α₂ ⇒ α₁ = α₂) и пересекают ось Оу в одной и той же точке (рис. 3.52).

2) Если две совпадающие прямые заданы общими уравнениями

A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0,

то соответственно получим:

y=-\frac{A_1}{B_1}x-\frac{C_1}{B_1} и y=-\frac{A_2}{B_2}x-\frac{C_2}{B_2}.откуда, в силу равенства угловых коэффициентов, а также равенства начальных ординат:-\frac{A_1}{B_1}=-\frac{A_2}{B_2} и -\frac{C_1}{B_1}=-\frac{C_2}{B_2}или\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2} ja \frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}. Из последних равенств следует, что \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.Справедливо и обратное утверждение.

Две прямые, заданные общими уравнениями, совпадают тогда и только тогда, когда все коэффициенты этих уравнений пропорциональны,т. е.

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}

Пример 1.

Прямые 4x – 7y + 1 = 0 и 16x – 28y + 4 = 0 совпадают, так как \frac{4}{16}=\frac{-7}{-28}=\frac{1}{4}.Тот же результат можно получить и по-другому. Выразив из обоих уравнений переменную y, получим в обоих случаях одно и то же уравнение y=\frac{4}{7}x+\frac{1}{7}. Значит, прямые совпадают.

Рис. 3.53

Параллельность прямых.1) Прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны тогда и только тогда, когда

k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂,

так как эти прямые имеют одинаковые углы наклона, но пересекают ось Оу в различных точках (рис. 3.53).

2) Если две прямые заданы общими уравнениямиA₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0,то из равенства угловых коэффициентов -\frac{A_1}{B_1}=-\frac{A_2}{B_2} вытекает, что \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2},но из соотношения b_1\ne b_2, или -\frac{C_1}{B_1}\ne-\frac{C_2}{B_2} следует, что \frac{B_1}{B_2}\ne\frac{C_1}{C_2}.

Две прямые, заданные общими уравнениями, параллельны тогда и только тогда, когда

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \neq \frac{C_{1}}{C_{2}}

Пример 2.

Прямые 3x + 4y – 5 = 0 и 6x + 8y + 1 = 0 параллельны, но не совпадают, так как \frac{3}{6}=\frac{4}{8}\ne\frac{-5}{1}.Этот результат можно получить и по-другому, выразив из обоих уравнений переменную у. Получим соответственно y = –0,75x + 1,25 и y = –0,75x – 0,125. Угловые коэффициенты данных прямых одинаковы (k₁ = k₂ = –0,75), но начальные ординаты различны (b₁ = 1,25 и b₂ = –0,125), поэтому прямые параллельны, значит, и не совпадают.

Пример 3. Найдем уравнение прямой, которая параллельна прямой 3x + 4y – 5 = 0 и проходит через точку A(–8; 4).Угловой коэффициент заданной прямой k = –0,75. Такой же угловой коэффициент должна иметь параллельная ей прямая. Искомая прямая задана теперь с помощью углового коэффициента k = –0,75 и точки А, поэтому ее уравнением будет y – 4 = –0,75(x + 8), или y = –0,75x – 2.

$x + 2 y - 1 = 0$ и $2 x + 4 y + 3 = 0$
$x - 2 y + 3 = 0$ и $- 3 x + 6 y - 9 = 0$
$4 y - 2 x + 2 = 0$ и $y = 0,5 x - 0,5$
$3 x + 5 y - 9 = 0$ и $10 x - 6 y + 1 = 0$
$x + y + 2 = 0$ и $2 x + 5 y - 3 = 0$
$x + 1 = 0$ и $x + 2 y = 0$
$3 y - 4 = 0$ и $4 y + 9 = 0$
$x + 2 = 0$ и $y - 1 = 0$
$x - 2 y + 5 = 0$ и $2 x + y = 7$
$y = 2 x$ и $y = - 4 x + 3$

$x + 2 y - 1 = 0$ и $2 x + 4 y + 3 = 0$
$x - 2 y + 3 = 0$ и $- 3 x + 6 y - 9 = 0$
$4 y - 2 x + 2 = 0$ и $y = 0,5 x - 0,5$
$3 x + 5 y - 9 = 0$ и $10 x - 6 y + 1 = 0$
$x + y + 2 = 0$ и $2 x + 5 y - 3 = 0$
$x + 1 = 0$ и $x + 2 y = 0$
$3 y - 4 = 0$ и $4 y + 9 = 0$
$x + 2 = 0$ и $y - 1 = 0$
$x - 2 y + 5 = 0$ и $2 x + y = 7$
$y = 2 x$ и $y = - 4 x + 3$

Ответ: B = .

y = 1,4x – 3
y = –1,4x – 2
5x – 7y + 7 = 0

$y = \frac{7}{5} x + 3$
$y = - \frac{7}{5} x + 2$
5x – 7y + 15 = 0

y = 2x – 4, A(3; 5)

Ответ:

5x – 3y + 9 = 0, B(0; 4)

Ответ:

y = –5x, C(1; –7)

Ответ:

x + y – 1 = 0, O(0; 0)

Ответ:

y = –8, D(2; –3)

Ответ:

3x – 7 = 0, E(2; 0)

Ответ:

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Совпадающие и параллельные прямые

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid