Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"
При решении задач предыдущего параграфа мы записывали уравнение прямой либо в виде y = kx + b, либо в виде Ax + By + C = 0, где A, B и C – некоторые числа. Заметим, что и уравнение y = kx + b можно привести к виду Ax + By + C = 0:
Значит, уравнение прямой всегда можно представить в виде Ax + By + C = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В отличен от нуля, т. е. A ≠ 0 или B ≠ 0.
Верно и обратное утверждение: уравнение вида Ax + By + C = 0, где хотя бы один из коэффициентов A ≠ 0 или B ≠ 0, всегда задает прямую.
Так как всякую прямую можно задать уравнением Ax + By + C = 0, и, обратно, такое уравнение (в котором хотя бы один из коэффициентов А, В отличен от нуля) задает прямую, то:
линейное уравнение Ax + By + C = 0, в котором хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля, называется общим уравнением прямой.
Замечание.
В отличие от уравнения у = kx + b, которым нельзя задать прямую х = а, перпендикулярную оси Ох, уравнением Ax + By + C = 0 можно задать любую прямую.
Пример 1.
Что можно сказать о прямых, заданных уравнениями 3x + 2y – 5 = 0 и 2x + 8 = 0?
Выразим из первого уравнения переменную y:
y = –1,5x + 2,5.
Поскольку k = tan α = –1,5 < 0, то прямая является нисходящей и угол наклона α ≈ 123°41'. Начальная ордината b = 2,5. Следовательно, прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 2,5.
Уравнение 2x + 8 = 0 равносильно уравнению x = –4, и, следовательно, задает прямую, перпендикулярную оси Ох.
Пример 2.
Найдем какие-нибудь направляющие векторы прямой –3x + 8y + 13 = 0.
Мы только что познакомились с нахождением этого вектора в виде
Ответ: направляющими векторами данной прямой являются векторы
