Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"
Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в точке A(a; b) и радиусом r. Эти данные полностью определяют окружность (рис. 3.55). Если M(x; y) – произвольная точка окружности, то всегда выполнено равенство AM = r. В координатах это равенство выражается в виде
или
Таким образом, уравнением окружности является уравнение
.
Пример 1.
Если центром окружности является точка A(6; –1), а радиус r = 3, то уравнением окружности будет
(x – 6)2 + (y + 1)2 = 9.
Пример 2.
Проверим, расположены ли точки U(10; –1) и V(5; –3) на рассмотренной в предыдущем примере окружности.
В случае точки U мы видим, что (10 – 6)2 + (–1 + 1)2 = 16 ≠ 9 и потому точка U не лежит на данной окружности. Аналогично получим, что и точка V не лежит на окружности, поскольку (5 – 6)2 + (–3 + 1)2 = 5 ≠ 9.
Выясним, как расположены точки U и V относительно окружности. Так как
то точка U расположена вне окружности.
Аналогично получим, что
Если центром окружности является начало координат О(0; 0), то уравнение окружности имеет вид
,
так как в этом случае a = 0 и b = 0.
Пример 3.
Окружность с центром в начале координат и радиусом r = 4 задается уравнением x2 + y2 = 16.
Пример 4.
Найдем уравнение окружности, которая касается оси Ох в точке C(−3; 0) и центр которой лежит на прямой y = –x.
Поскольку прямая y = –x является биссектрисой координатных углов II и IV четвертей, то данная окружность касается также и оси Оу (рис. 3.56).
Радиус, проведенный в точку касания C, перпендикулярен касательной, т. е. оси Ох. Поэтому a = –3, и, так как b = –a (точка A лежит на прямой y = –x), то b = 3.
Радиус r = AC = 3, и уравнение окружности (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9.
 Рис. 3.56 | ||||||
Пример 5.
Найдем касательную к окружности (x – 4)2 + (y + 3)2 = 25, проходящую через точку P(1; 1).
Из уравнения окружности центр окружности – точка A(4; −3).
Точка P расположена на окружности, так как ее координаты удовлетворяют уравнению окружности. Поскольку радиус окружности (отрезок AP на рисунке 3.57) перпендикулярен касательной t, то прямая AP перпендикулярна прямой t.
Найдем угловой коэффициент прямой AP:
 Рис. 3.57 | ||||||
Следовательно, угловой коэффициент прямой t есть
Уравнением прямой t будет
y – 1 = 0,75(x – 1) или y = 0,75x + 0,25.
Ответ: уравнением касательной является y = 0,75x + 0,25.
Чтобы найти точку пересечения двух линий, нужно решить систему, составленную из уравнений этих линий, так как координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям.
Пример 6.
Найдем точки пересечения прямой 3x – 4y + 9 = 0 и окружности (x – 5)2 + (y – 6)2 = 100.
Решим систему уравнений
Выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе уравнение. После упрощения получим уравнение y2 – 12y = 0, откуда y1 = 0 и y2 = 12. Вычислив соответствующие значения x, т. е. x1 = –3 и x2 = 13, получим две точки пересечения (−3; 0) и (13; 12).
Ответ: прямая и окружность пересекаются в точках (−3; 0) и (13; 12).
- A(−6; 8);
Ответ: - B(8; −6).
Ответ:
(x + 10)2 + (y – 8)2 = 100
и
(x – 6)2 + (y + 7)2 = 25
Ответ: соответствующие круги .
