Уравнение линии

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Как мы выяснили, всякой прямой соответствует уравнение первой степени, иначе говоря, линейное уравнение Ax + By + C = 0, где коэффициенты А и В не равны нулю одновременно. Всякая окружность задается уравнением второй степени (x – a)² + (y – b)² = r². Уравнением второй степени считается уравнение, в котором высшая степень хотя бы одной из переменных х или у равна двум, а также уравнение, содержащее член ху. Следовательно, уравнение параболы y = ax² + bx + c является уравнением второй степени. Уравнение обратно пропорциональной зависимости y=\frac{a}{x}, графиком которой является гипербола, можно записать в виде xy – a = 0, т. е. в виде уравнения второй степени.Каждая линия на координатной плоскости задается некоторым уравнением. Это уравнение содержит, как правило, две переменные – координаты х и у произвольной точки этой линии. Линия состоит из тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.Случайным образом составленное уравнение не обязано задавать какую-либо линию. Например, уравнение 5x⁴ + 2x² + 7 = 0 не задает никакой линии, так как сумма двух неотрицательных и одного положительного чисел ни в каких случаях не может равняться нулю. Значит, не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы этому (противоречивому) уравнению.

Уравнение линии представляет собой уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек этой линии, причем координаты только таких точек.

Чтобы вывести уравнение линии, нужно знать свойства этой линии, которыми она полностью определяется. Другими словами, нужно знать определение данной линии. Если это определение известно, то, записав в координатах равенство, выражающее условие принадлежности точки данной линии, мы получим уравнение линии.

Пример 1. Выведем уравнение линии, состоящей из всех точек, для которых расстояние до точки A(0; 0) в два раза больше расстояния до точки B(6; 0).

Пусть P(x; y) – произвольная точка рассматриваемой линии. Тогда (рис. 3.58) по определению линии AP = 2 ⋅ BP, или\sqrt{x^2+y^2}=2\cdot\sqrt{\left(x-6\right)^2+y^2}.

Рис. 3.58

Возведя обе части уравнения в квадрат, раскрыв скобки и упростив, получим x² – 16x + y² + 48 = 0, откуда (x – 8)² – 64 + y² + 48 = 0 и (x – 8)² +y² = 16. Данная линия представляет собой окружность с центром в точке (8; 0) и радиусом r = 4.

Пример 2. Найдем уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой у = –1 и точки F(0; 1).

Пусть P(x; y) – произвольная точка линии. В соответствии с определением линии, P₁P = FP (рис. 3.59). Так как отрезок PP₁ перпендикулярен оси Ох и прямой y = –1, то координаты точки P₁ равны соответственно x и –1.Равенство P₁P = FP выражается так:\sqrt{\left(x-x\right)^2+\left(y+1\right)^2}=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2} или \left(y+1\right)^2=x^2+\left(y-1\right)^2, откуда y = 0,25x².

Рис. 3.59

Полученное в последнем примере уравнение линии является уравнением параболы y = ax² (графика квадратичной функции у = ах²), где а = 0,25. Значит, определение, данное в начале примера, задает параболу. При этом точка F(0; 1) называется фокусом этой параболы.Из ранее изученного мы знаем, что графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола, ветви которой направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0. Абсцисса вершины параболы находится по формуле x_0=-\frac{b}{2a}, а затем и ордината у₀ из равенства y = ax² + bx + c.Можно сказать, что уравнение y = ax² + bx + c определяет линию, которая обладает рассмотренными в предыдущем рассуждении свойствами, т. е. параболу.

Пример 3. Найдем точки пересечения прямой x – y – 4 = 0 и параболы y = x² – 4 (рис. 3.60).

Для этого решим систему уравнений

\{\begin{cases} x - y - 4 = 0 \\ y = x^{2} - 4 . \end{cases}

Выразив из второго уравнения переменную у и подставив в первое уравнение, получим квадратное уравнение x² – x = 0, корни которого x₁ = 0, x₂ = 1.

Вычислив соответствующие значения y₁ = –4 и y₂ = –3, получим точки пересечения данных линий A(0; –4) и B(1; –3).

Рис. 3.60

Ответ: уравнением этой линии является .

Найдите точки пересечения этой линии с осями координат.
Ответ: эта линия пересекает ось Оx в точках и , а ось Оy .

x – y + 3 = 0 и (x + 2)² + (y – 3)² = 2