Juhuslik, kindel ja võimatu sündmus

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Tõenäosus­teooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslikke sündmusi, püüdes nende toimumises leida seadus­pärasusi. Üheks vahendiks on see­juures sündmuse tõenäosuse mõiste.

Meenutame, mis on juhuslik sündmus.

Järelikult on tõenäosus­teoorias juhusliku sündmuse jaoks vaid kaks võimalust, see kas toimub või ei toimu. Kolmandat võimalust ei ole (nn välistatud kolmanda seadus). Reaalsuses on vahel asi keerulisem. Kui näiteks maja trepp on vee­piiskadest märg, siis pole alati selge, kas ikka toimus sündmus „sadas vihma” või mitte.

Juhuslikuks sündmuseks on näiteks võitmine loteriil, 6 silma tulek täringu viskamisel, laske­võistlusel märklaua tabamine kümnesse.

Sündmusi tähistatakse lühema märkimise ja nimetamise huvides suur­tähtedega A, B, jne või sümbolitega A₁, A₂, jne.

Üks ja sama juhuslik sündmus A võib tavaliselt toimuda mitmel erineval viisil. Näiteks kahe täringu (musta ja valge, vt tabel) korraga viskamisel võib tulla 5 silma (olgu see sündmus A) neljal erineval viisil: 4 + 1; 3 + 2; 2 + 3 ja 1 + 4.

Nimetatud üksik­juhud ehk sündmuse A jaoks soodsad juhud on võrd­võimalikud, sest pole põhjust, et mõni neist tuleks teistest sagedamini esile. Loetletud võrd­võimalikest juhtudest igat võib vaadelda oma­ette sündmusena. Neid nimetatakse siis sündmuse A jaoks soodsateks elementaar­sündmuseks.

Elementaar­sündmusi tähistame edas­pidi sümbolitega E₁, E₂, E₃, …

Sündmuse A korral on elementaar­sündmus E₁ silmade summa 4 + 1, E₂ summa 3 + 2, E₃ summa 2 + 3 ja E₄ summa 1 + 4 tulek.

Sündmuse A (5 silma tulek kahe täringu korraga viskamisel) soodsad juhud kuuluvad sündmuse A jaoks nn kõigi võimaluste hulka, mida on 36 (vt tabel). Ka need võimalused on võrd­võimalikud. Kokku­võtvalt: kahe täringu korraga viskamisel on sündmuse A jaoks kõiki võimalusi 36 ja neist soodsaid juhte 5 silma tulekuks 4. Seega tõenäosus P\left(A\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.

Kui sündmuse jaoks on soodsad kõik tema n üksik­juhtu (elementaar­sündmused E₁, E₂, E₃, …, E_n), nimetatakse sündmust kindlaks sündmuseks. Kindlat sündmust tähistatakse tähega U või Ω.

Kindel sündmus toimub antud tingimuste korral alati ja P\left(U\right)=\frac{n}{n}=1.

Kindel sündmus on näiteks see, et tavalise täringu viskamisel tuleb vähem kui seitse silma või et päike tõuseb idast.

Kui sündmuse jaoks soodsad juhud puuduvad, nimetatakse sündmust võimatuks sündmuseks. Võimatut sündmust tähistatakse tähega V või sümboliga ∅. Võimatu sündmus ei toimu antud tingimuste korral kindlasti ja P\left(V\right)=\frac{0}{n}=0.

Nii on näiteks võimatuks sündmuseks täringu viskamisel 7 silma tulek ja .

Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ning kirjutatakse A = B, kui nendel on samad soodsad juhud samade elementaar­sündmuste E₁, E₂, E₃, …, E_n seas.

Kui näiteks A tähendab paaris­arvu silmade tulekut ja B kahega jaguva silmade arvu tulekut täringu viskamisel, siis A = B.

Lühemalt:

Kindla sündmuse vastand­sündmuseks loetakse võimatut sündmust, s.t \overline{U}=V ja võimatu sündmuse vastand­sündmuseks kindlat sündmust, s.t \overline{V}=U.