Sündmuse klassikaline tõenäosus

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Meenutame, mis oli sündmuse (klassikaline) tõenäosus:

sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse sündmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n jagatist kn.

Rõhutame: selle definitsiooni korral eeldatakse kõigi elementaar­sündmuste

  1. arvu (n) lõplikkust,
  2. välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaar­sündmus),
  3. võrd­võimalikkust.

Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A), ka p(A), kui soovitakse näidata, millise sündmuse tõenäosusega on tegemist.

Näide 1.

Leiame 1) paaris­arvu silmade tuleku (sündmus A) ja 2) viiega jaguva silmade arvu tuleku (sündmus B) tõenäosuse täringu viskamisel.

Mõlema sündmuse korral on kõiki võimalusi 6.

  1. Et sündmuse A jaoks on soodsaid võimalusi kolm (2, 4 ja 6), siis
    ​P\left(A\right)=\frac{3}{6}=0,5.
  2. Sündmuse B korral on ainus soodne võimalus 5 silma tulek. Seega k = 1 ja
    ​P\left(B\right)=\frac{1}{6}\approx0,1667.​

Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused:

1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Et P\left(A\right)=\frac{k}{n} ja 0 ≤ k ≤ n, siis tõepoolest 0\le\frac{k}{n}\le1.

Juhusliku sündmuse tõenäosus näitab, kui ootus­pärane on sündmuse toimumine. Teiselt poolt näitab aga tõenäosus (eriti kui tõenäosus esitada protsentides), kui sageli toimub meid huvitav juhuslik sündmus suure arvu katsete korral. Kasutades näite 1 tulemusi võime öelda, et tehes näiteks 10 000 täringu­viset tuleb paaris­arv silmi umbes pooltel juhtudel ehk 50% juhtudest. Viis silma tuleb aga \frac{1}{6} juhtudest ehk ligi­kaudu 16,7% juhtudest, sest p ≈ 0,1667.

2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1,
​s.t P(U) = 1.

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0,
​s.t P(V) = 0.

4. Sündmuse A ja tema vastand­sündmuse A¯ tõenäosuste summa on 1,
​s.t P(A)+P(A¯)=1.

Tõepoolest, kui P\left(A\right)=\frac{k}{n}, siis P\left(\overline{A}\right)=\frac{n-k}{n} ja P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=1.

Näide 2.

Näites 1 leidsime 5 silma tuleku tõenäosuse täringu viskel. Et see oli P\left(B\right)=\frac{1}{6}, siis sündmuse B vastand­sündmuse, kas 1 või 2 või 3 või 4 või 6 silma tuleku tõenäosus P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.

Tõenäosuste arvutamisel tuleb sageli leida sündmuse soodsate võimaluste arv ja kõikide võimaluste arv kombinatoorika valemeid või lauseid kasutades.

Näide 3.

Kausis on segamini 8 valget ja 12 punast herne­kommi. Laps võtab juhuslikult neist 4. Kui tõenäone on, et 1) kõik neli kommi on valged; 2) nendest on 2 või 3 valget herne­kommi.

  1. Kõigi juhtude arv n=C_{20}^4=\frac{20!}{4!\cdot16!}=4845. Soodsaid juhte nelja valge herne­kommi saamiseks on k=C_8^4=\frac{8!}{4!\cdot4!}=70. Seega tõenäosus p=70\ :\ 4845\approx0,014.
  2. Kõigi võimaluste arv n on endiselt 4845. Soodsaid variante on kaks: 2 valget ja 2 punast või 3 valget ja 1 punane herne­komm. Leides mõlema variandi võimaluste arvu kombinatoorika korrutamis­lausega, tuleb kogu soodsate võimaluste arv leida liitmis­lausega:
    ​k=C_8^2\cdot C_{12}^2+C_8^3\cdot C_{12}^1=\frac{8!}{2!\cdot6!}\cdot\frac{12!}{2!\cdot10!}+\frac{8!}{3!\cdot5!}\cdot\frac{12!}{1!\cdot11!}= 2520.
    ​Seega on p=2520\ :\ 4845\approx0,520. Et tõenäosus on üle poole, siis antud sündmus tõenäoliselt pigem toimub kui ei toimu.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Vastus. P(algarv) = 

  1. ruutu?

    Vastus. P(A) = 
  2. äss?

    Vastus. P(B) = 
  3. pilt?

    Vastus. P(C) = 
  4. kas äss või poti pilt?

    Vastus. P(D) = 
  1. tütarlaps.

    Vastus. P(A) = 
  2. Eve.

    Vastus. P(B) = 
  3. poiss pikkusega üle 180 cm.

    Vastus. P(C) = 
  4. olete Teie.

    Vastus. P(D) = 

Vastus. Mündi viskamisel on kirja tulemise tõenäosus .

  1. mõlemal kull?

    Vastus. P(A) = 
  2. ühel kiri, teisel kull?

    Vastus. P(B) = 
  3. vähemalt ühel kiri?

    Vastus. P(C) = 
Joon 1.5

Vastus. Värvitud pinna tabamise tõenäosus on .

  1. valge?

    Vastus. P(A) = 
  2. punane?

    Vastus. P(B) = 
  3. sinine?

    Vastus. P(C) =
  1. valged?

    Vastus. P(V) = 
  2. punased?

    Vastus. P(P) = 
  3. sinised?

    Vastus. P(S) = 
  1. mustad?

    Vastus. P(M) = 
  2. sama­värvilised?

    Vastus. P(S) = 
  3. kõik erinevat värvi?

    Vastus. P(E) = 

Silmade arv

Tõenäosus

Vastus. 1) Suurim on p() =  ja
2) vähimad on p() = p() = .

  1. õpib saksa keelt?
    Vastus. Tõenäosus, et selle kooli juhuslikult valitud õpilane õpib saksa keelt on .
  2. ei õpi saksa keelt?
    Vastus. Tõenäosus, et selle kooli juhuslikult valitud õpilane ei õpi saksa keelt on .
  1. sõna SAI?

    Vastus. P(SAI) = 
  2. tähendusega sõna?

    Vastus. P(tähendusega sõna) = 
  1. kolm tahku värvitud?

    Vastus. P(A) = 
  2. ainult üks tahk värvitud?

    Vastus. P(B) = 
  3. kõik tahud värvimata?

    Vastus. P(C) = 
  1. neist saab vähemalt paari ühe­suguseid sokke?
    Vastus. Võtta tuleb vähemalt  sokki.
  2. nende seas oleks vähemalt üks paar halle sokke?
    Vastus. Võtta tuleb vähemalt  sokki.

Kui suur on tõenäosus, et kahe soki juhuslikul võtmisel saame ühe­sugused sokid?

Vastus. Kahe soki juhuslikul valimisel ühe­suguste sokkide saamise tõenäosus on .

Seotud sisu
Muud tegevused