Ruut­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

S = 

S = 

Valem y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on antud arvud (a ≠ 0), esitab ruut­funktsiooni.

Ruut­funktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Et parabooli täpsemalt joonestada, on tarvis teada parabooli lõike­punkte x-teljega ja hari­punkti koordinaate. Nimetatud lõike­punktide leidmiseks tuleb lahendada võrrand ax2 + bx + c = 0.

Teame, et parabooli hari­punkt asub parabooli teljel. Olgu hari­punkti x-koordinaat ehk abstsiss xh.

Valemi tuletamine

Tuletame valemi xh leidmiseks. Valime paraboolil kaks telje suhtes sümmeetrilist punkti P1(xh – k; y1) ja P2(xh + k; y2) (joonis 2.6). Nende punktide ordinaadid on võrdsed, s.t y1 = y2.

Joon. 2.6

Et

y1 = a(xh – k)2 + b(xh – k) + c
​ja
​y2 = a(xh + k)2 + b(xh + k) + c,

​siis saame võrrandi

​a(xh – k)2 + b(xh – k) + c = a(xh + k)2 + b(xh + k) + c

ehk

​ax_h^2-2akx_h+ak^2+bx_h-bk+c = ax_h^2+2akx_h+ak^2+bx_h+bk+c

ehk –4akxh = 2bk, millest x_h=-\frac{b}{2a}. ♦

  Parabooli hari­punkti abstsiss xh=-b2a.

Kui funktsioonil on null­kohad, siis saab hari­punkti x-koordinaati leida ka nende abil: xh=x1 + x22.

Kuidas leida parabooli hari­punkti ordinaati?

Ruut­funktsiooni valemi koostamiseks on vaja teada kolme punkti, mis asuvad selle funktsiooni graafikul. Selleks sobivad null­kohad ja hari­punkt. Kui funktsioonil null­kohad puuduvad, siis tuleb parabooli võrrandi koostamiseks kasutada lisaks hari­punktile veel kahte muud punkti. Nende kolme punkti koordinaadid tuleb asendada valemisse y = ax2 + bx + c ja lahendada saadud võrrandi­süsteem.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

y=x^2+5x-6

  1. Leidke funktsiooni null­kohad.

    Vastus. x_1 =  ja x_2 = .
  2. Millega võrdub graafiku hari­punkti abstsiss?

    Vastus. Graafiku hari­punkti abstsiss on .
  3. Joonestage funktsiooni graafik.
  4. Milliste x väärtuste korral on y väärtused positiivsed, milliste korral negatiivsed?
    Vastus. y väärtused on positiivsed, kui  ja negatiivsed kui .
  5. Milliste x väärtuste korral on y väärtus –10?
    Vastus. y = –10, kui x =  või x = .

y=3x^2-x

  1. Leidke funktsiooni null­kohad.

    Vastus. x_1 =  ja x_2 = .
  2. Millega võrdub graafiku hari­punkti abstsiss?

    Vastus. Graafiku hari­punkti abstsiss on .
  3. Joonestage funktsiooni graafik.
  4. Milliste x väärtuste korral on y väärtused positiivsed, milliste korral negatiivsed?
    Vastus. y väärtused on positiivsed, kui  ja negatiivsed, kui .
  5. Milliste x väärtuste korral on y väärtus –10?
    Vastus. y = –10, kui x =  või x = .

y=-x^2+7x-12

  1. Leidke funktsiooni null­kohad.

    Vastus. x_1 =  ja x_2 = .
  2. Millega võrdub graafiku hari­punkti abstsiss?

    Vastus. Graafiku hari­punkti abstsiss on .
  3. Joonestage funktsiooni graafik.
  4. Milliste x väärtuste korral on y väärtused positiivsed, milliste korral negatiivsed?
    Vastus. y väärtused on positiivsed, kui  ja negatiivsed, kui .
  5. Milliste x väärtuste korral on y väärtus –10?
    Vastus. y = –10, kui x =  või x = .

1) a = 1;

2) a = –1;

3) a = 5;

4) a = –5.

Missugused paraboolid avanevad üles, missugused alla?

Üles avanevad:

  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)

Alla avanevad:

  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)

Vastus. y = 

Kas punkt A(10; 80) asub sellel paraboolil?

Vastus. Punkt A  sellel paraboolil.

Joon. 2.7

Vastus. y = 

Vastus. Pall on kõige kõrgemal, kui t =  sekundit. Palli suurim kõrgus maa­pinnast on  m.

Kõrgus h (meetrites), kus nool asub aja­hetkel t (sekundites), on arvutatav valemiga h=5+50t-\frac{gt^2}{2}, g\approx10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}. Mitme sekundi pärast jõuab nool maa­pinnale tagasi? Milline on noole maksimaalne kõrgus?

Vastus. Nool jõuab maa­pinnale tagasi  sekundi pärast. Noole maksimaalne kõrgus on  m.

y=x^2+2x+m-10

  1. ainult positiivsed väärtused?

    Vastus. Kui .
  2. nii positiivsed kui ka negatiivseid väärtusi?

    Vastus. Kui .

y=x^2+\left(m+3\right)x+6m-2

  1. ainult positiivsed väärtused?

    Vastus. Kui .
  2. nii positiivsed kui ka negatiivseid väärtusi?

    Vastus. Kui .
Seotud sisu
Muud tegevused