Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Funktsiooni ekstreemum­kohad

Kursus „Funktsioonid”

Jätkame funktsioonide omaduste uurimist. Kui argumendi väärtused järjest suurenevad, s.t kui liigume x-teljel vasakult paremale, siis võivad funktsiooni väärtused suureneda (kasvada) (joonis 2.17a), väheneda (kahaneda) (joonis 2.17b), muutuda vaheldumisi (kord kasvada, kord kahaneda või vastu­pidi) ja olla ka muutumatud (konstantsed).

Joon. 2.17

Funktsiooni y = f (x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad:
​kui x2 > x1, siis ka f (x2) > f (x1).

Funktsiooni y = f (x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad:
​kui x2 > x1, siis f (x2) < f (x1).

Maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kasvab, nimetatakse funktsiooni kasvamis­vahemikuks, maksimaalse pikkusega vahemikku, milles funktsioon kahaneb, nimetatakse funktsiooni kahanemis­vahemikuks.

Funktsiooni kasvamis­vahemiku tähis on X\uparrow ja kahanemis­vahemiku tähis X\downarrow.

Näide 1.

Joonisel 2.18 esitatud funktsioonil on kolm kasvamis­vahemikku (joonis 2.18a) ja kaks kahanemis­vahemikku (joonis 2.18b):

X_1\uparrow=\left(-∞;\ -0,5\right), X_2\uparrow=\left(2,5;\ 6\right), X_3\uparrow=\left(8;\ ∞\right).

X_1\downarrow=\left(-0,5;\ 2,5\right), X_2\downarrow=\left(6;\ 8\right).

Joon. 2.18

Näide 2.

Funktsioon y = –x2 (joonis 2.19a) kasvab vahemikus (–∞; 0) ja kahaneb vahemikus (0; ∞). Seega X\uparrow=\left(-∞;\ 0\right) ja X\downarrow=\left(0;\ ∞\right).

Joon. 2.19

Funktsioon y=-\frac{2}{3}x+2 on kogu oma määramis­piirkonnas kahanev (joonis 2.19b). Seega X\uparrow=\varnothing, X\downarrow=X ehk X\downarrow=\left(-∞;\ ∞\right) ehk X↓ = R.

Funktsioone, mille kasvamis­vahemik ühtib määramis­piirkonnaga, nimetatakse kasvavateks funktsioonideks.

Funktsioone, mille kahanemis­vahemik ühtib määramis­piirkonnaga, nimetatakse kahanevateks funktsioonideks.

Vaatleme nüüd argumendi neid väärtusi, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastu­pidi. Näiteks joonisel 2.18 on nendeks x väärtused –0,5; 2,5; 6 ja 8. Samalt jooniselt näeme, et kohal, kus kasvamine asendub kahanemisega, on funktsioonil suurim väärtus, võrreldes naaber­väärtustega. Kohal, kus kahanemine asendub kasvamisega, on funktsioonil vähim väärtus, võrreldes naaber­väärtustega. Need väärtused ei tarvitse olla funktsiooni suurimad või vähimad väärtused funktsiooni kogu määramis­piirkonna ulatuses, vaid argumendi vastava väärtuse ümbruses.

Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) ≥ f (x).

Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) ≤ f (x).

Funktsiooni maksimum- ja miinimum­kohti nimetatakse ühise nimega funktsiooni ekstreemum­kohtadeks. Funktsiooni ekstreemum­kohtade hulka tähistatakse sümboliga X_e. Funktsiooni väärtust y ekstreemum­kohas nimetatakse funktsiooni ekstreemumiks.

Näiteks joonisel 2.18 esitatud funktsioonil on maksimum kohal x = –0,5 ja kohal x = 6; miinimum on kohal x = 2,5 ja kohal x = 8. Näites 2 esitatud lineaar­funktsioonil y=-\frac{2}{3}x+2 ekstreemum­kohad puuduvad.

Näide 3.

Joonisel 2.20 esitatud funktsioonil on kuus ekstreemum­kohta, kus­juures maksimumid on kohtadel x1, x3 ja x5, miinimumid on kohtadel x2, x4 ja x6.

Joon. 2.20

Näide 4.

Uurime funktsiooni y = x2 – 2x – 3. Selleks joonestame funktsiooni graafiku. Graafikuks on parabool, mille null­kohad on x1 = 3 ja x2 = –1. Parabooli hari­punkt on kohal x_h=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1, hari­punkti ordinaat y_h=1^2-2-3=-4 (joonis 2.21).

Joon. 2.21

Jooniselt näeme, et funktsioon kahaneb, kui x < 1, ja kasvab, kui x > 1. Kohal x = 1 on funktsioonil miinimum ja see on –4. Seega on vaadeldava funktsiooni muutumis­piirkond Y = [–4; ∞). Kirjutame välja uuritava funktsiooni kõik omadused, millega oleme seni tutvunud:

X=\left(-∞;\ ∞\right), Y=\left[-4;\ ∞\right), X_0=\left\{-1;\ 3\right\}, X^+=\left(-∞;\ -1\right)\cup\left(3;\ ∞\right), X^-=\left(-1;\ 3\right), X\uparrow=\left(1;\ ∞\right), X\downarrow=\left(-∞;\ 1\right), x_{\min}=1, haripunkt H(1; –4).

Funktsiooni graafikult saadud tulemused funktsiooni omaduste kohta võivad olla mõne­võrra eba­täpsed. Täpsemaid meetodeid funktsiooni uurimiseks vaatleme õpiku 15. teemas.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Joon. 2.22a

X\uparrow = 
X_1\downarrow = 
X_2\downarrow = 
X_e = 
x_{\min} = 
x_{\max} = 

Joon. 2.22b

X_1\uparrow = 
X_2\uparrow = 
X_1\downarrow = 
X_2\downarrow= 
X_e = 
x_{\min} = 
x_{\max} =  ja
x_{\max} = 

Joon. 2.22c

X\uparrow = 
X_1\downarrow = 
X_2\downarrow = 
X_e = 
x_{\min} = 
x_{\max} = 

Joon. 2.22d

X_1\uparrow = 
X_2\uparrow = 
X_1\downarrow = 
X_2\downarrow = 
X_3\downarrow = 
X_e = 
x_{\min} =  ja
x_{\min} = 
x_{\max} =  ja
x_{\max} = 

y=x^3-2x^2

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

y=-2x^3-3x^2+x

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = ; X_e = .

y=x^3+x-6

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

Funktsioon

y=2x+7

y=-4x+1

y=4-x

y=3x-6

Kasvamis­vahemikud

Kahanemis­vahemikud

Ekstreemum­kohad

Kasvav või kahanev?

Mis­sugustel tingimustel on lineaar­funktsioon y = ax + b kasvav, mis­sugusel kahanev?

Funktsioon

X\uparrow

X\downarrow

X_e

y=x^2-5x

y=4+3x-x^2

y=-\left(x-1\right)\left(x-7\right)

y=x^2+2x+10

Funktsioon

y=\frac{3}{x}

y=-\frac{5}{x}

Kasvamis­vahemikud

 ja 

 ja 

Kahanemis­vahemikud

 ja 

 ja 

Ekstreemum­kohad

Kasvav või kahanev?

Seotud sisu
Muud tegevused