Astme­funktsioonid

Kursus „Funktsioonid”

Mitmete eluliste ülesannete lahendamisel on vaja kasutada suurusi, mida tuleb astendada. Näiteks pindala korral kasutame arvu ruutu, ruumala korral arvu kuupi jne. Järgnevas teemegi tutvust astmeid sisaldavate funktsioonidega ja uurime nende omadusi.

Astme­funktsioonideks nimetatakse funktsioone, mida esitab valem y = axn, kus a ≠ 0 ja n ∈ R.

Kõige­pealt vaatleme selliseid astme­funktsioone, milles kordaja a = 1. Nende funktsioonide üld­kuju on y = xn. Uurime funktsioonide omadusi lähtuvalt sellest, millisesse arvu­hulka kuulub astendaja n.

Seotud sisu
Muud tegevused

Astendaja n on naturaal­arv

Kuna naturaal­arvuga on võimalik astendada mis tahes reaal­arvu, siis on y väärtus arvutatav iga x korral. See tähendab, et kui n on nullist erinev naturaal­arv (n ∈ N ja n ≠ 0), siis on funktsiooni y = xn määramis­piirkonnaks kogu reaal­arvude hulk R. Mõnda naturaal­arvulise astendajaga astme­funktsiooni me juba tunneme.

  1. Kui n = 0, saame funktsiooni y = x0, mis ei ole määratud x = 0 korral. Kui x ≠ 0, siis x0 = 1 ja me saame konstantse funktsiooni, mille graafikuks on x-teljega paralleelne sirge, millel puudub punkt (0; 1) (joonis 2.23a). Joonisel tähistab selle punkti puudumist seest tühi ringike.
  2. Kui n = 1, saame funktsiooni y = x. Ka selle funktsiooni graafikuks on sirge (joonis 2.23b).
  3. Kui n = 2, saame ruut­funktsiooni y = x2. Selle funktsiooni graafikuks on ruut­parabool ehk parabool (joonis 2.23c).
Joon. 2.23
  1. Kui n = 3, saame kuup­funktsiooni y = x3.

Teame, et funktsiooni y = x3 määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk R (kuupi saame tõsta iga reaal­arvu). Teame ka, et negatiivse arvu kuup on negatiivne arv, positiivse arvu kuup positiivne arv ja 03 = 0. Mida suurema arvu me kuupi tõstame, seda suurema arvu me ka saame. Järelikult on kuup­funktsioon kogu ulatuses kasvav.

Graafiku joonestamiseks koostame tabeli:

Joon. 2.24

Funktsiooni y = x3 graafik on kujutatud joonisel 2.24. Seda graafikut nimetatakse kuup­parabooliks. Kuup­funktsiooni väärtused kohal x ja kohal –x on absoluut­väärtuselt võrdsed, kuid märgi poolest erinevad.

Graafikult näeme, et funktsioonil y = x3 on järgmised omadused.

  1. Määramis­piirkond X = (−∞; ∞).
  2. Muutumis­piirkond Y = (−∞; ∞).
  3. Null­koht X0 = {0}.
  4. Positiivsus­piirkond X+ = (0; ∞), negatiivsus­piirkond X− = (−∞; 0).
  5. Kasvamis­vahemik X↑ = (−∞; ∞), kahanemisvahemik X↓ puudub.
  6. Ekstreemum­kohad puuduvad.
Seotud sisu
Muud tegevused

Astendaja n on negatiivne täis­arv

Nende funktsioonide üld­kuju on y = x–n, kus n on positiivne täis­arv ehk n ∈ Z+. Kuna negatiivse astendajaga astme definitsiooni kohaselt a^{-n}=\frac{1}{a^n}, siis võib selliseid funktsioone esitada ka kujul y=\frac{1}{x^n}. Kuna nulliga jagada ei saa, siis ei kuulu arv 0 nende funktsioonide määramis­piirkonda.

  1. Funktsioon y=x-1 ehk funktsioon y=1x.

Selle funktsiooniga oleme juba tuttavad (vt pöörd­võrdeline sõltuvus). Selle funktsiooni graafik on hüperbool (joonis 2.25).​

Joon. 2.25

Funktsiooni y=x^{-1} omadused on järgmised.

  1. Määramis­piirkond X = (–∞; 0) ∪ (0; ∞).
  2. Muutumis­piirkond Y = (–∞; 0) ∪ (0; ∞).
  3. Null­kohad puuduvad.
  4. Positiivsus­piirkond X+ = (0; ∞), negatiivsus­piirkond X− = (−∞; 0).
  5. Kasvamis­vahemik X↑ puudub, kahanemis­vahemikud X1↓ = (−∞; 0); X2↓ = (0; ∞).
  6. Ekstreemum­kohad puuduvad.
  1. Funktsioon y=x-2 ehk funktsioon y=1x2.

Funktsiooni viimasest avaldisest on näha, et tal on vaid positiivsed väärtused. Graafiku joonestamiseks koostame tabeli.

Et f (–x) = f (x), siis on funktsiooni graafik sümmeetriline y-telje suhtes. Kui x väärtused lähenevad nullile, siis lähenevad funktsiooni väärtused lõpmatusele. Kui x väärtused järjest suurenevad (x → ∞) või järjest vähenevad (x → –∞), siis lähenevad funktsiooni väärtused nullile.

Graafik on esitatud joonisel 2.26.

Joon. 2.26

Funktsiooni y=x^{-2} omadused on järgmised.

  1. Määramis­piirkond X = (–∞; 0) ∪ (0; ∞).
  2. Muutumis­piirkond Y = (0; ∞).
  3. Null­kohad puuduvad.
  4. Positiivsus­piirkond X+ = X = (−∞; 0)∪(0; ∞), negatiivsus­piirkond X− puudub.
  5. Kasvamis­vahemik X↑ = (−∞; 0), kahanemis­vahemik X↓ = (0; ∞).
  6. Ekstreemum­kohad puuduvad.

Eelnevas vaatlesime astme­funktsioone kujul y = xn. Astme­funktsioonide y = axn (kus a ≠ 1) mõned omadused võivad vastava funktsiooni y = xn omadest olla erinevad, sõltuvalt kordaja a väärtustest. Seda aitavad uurida järgnevad ülesanded.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Vastus. Kõik vaadeldud astme­funktsioonide graafikud läbivad punkti (; ).

y=ax^2

y=ax^{-2}

y=2x^{-1}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = ; X_e = .

y=-3x^{-2}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

y=3x^{-2}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

y=-x^{-1}

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

Ülesanne 250. Astme­funktsiooni graafik

Joonestage (arvuti abil) funktsiooni y = –x3 graafik, kasutades funktsiooni y = x3 graafikut.

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

Vastus. X = ; Y = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_e = .

  1. x4 > x6?
    Vastus. Kui x ∈ .
  2. x4 < x6?
    Vastus. Kui x ∈ .

Kuidas asetseks selles teljestikus funktsiooni y = x8 graafik?

  1. x3 > x5?
    Vastus. Kui x ∈ .
  2. x3 < x5?
    Vastus. Kui x ∈ .

Kuidas asetseks selles teljestikus funktsiooni y = x7 graafik?

Seotud sisu
Muud tegevused