Kursus „Funktsioonid”
Eespool nägime, et mitmetel funktsioonidel on ühine omadus: nende graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes ja nende graafiku peegeldamisel y-teljest saame sellesama graafiku (näiteks funktsioonide y = x2 ja y = x−2 graafikud). Sellise omadusega funktsioone nimetatakse paarisfunktsioonideks.
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f (–x) = f (x).
Muidugi peab koos iga x-ga kuuluma funktsiooni määramispiirkonda ka –x ehk funktsiooni määramispiirkond peab olema sümmeetriline x-telje 0-punkti suhtes.
Veendume, et selliselt defineeritud paarisfunktsiooni graafik on tõepoolest sümmeetriline y-telje suhtes.
TEOREEM 1. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.
Tõestus.
Eeldame, et funktsioon f on paarisfunktsioon, s.t iga x ∈ X korral kehtib võrdus f (x) = f (–x). Meil tuleb näidata, et siis on tema graafik sümmeetriline y-telje suhtes. See tähendab, et kui mingi punkt P asub funktsiooni f graafikul, siis asub sellel graafikul ka punkt P', mis on punktiga P sümmeetriline y-telje suhtes.
Olgu P(x; y) funktsiooni graafiku mingi punkt (joonis 2.27). Selle punkti ordinaat y = f (x). Eelduse kohaselt aga f (x) = f (–x) ja seetõttu on kohtadel x ja –x funktsiooni väärtus y sama. Seega asub punkt P'(–x; y) samuti funktsiooni graafikul. Punktid P(x; y) ja P'(–x; y) on sümmeetrilised y-telje suhtes, sest nende x-koordinaadid on teineteise vastandarvud ja y-koordinaadid on võrdsed ■
Näide 1.
Kontrollime, kas funktsioonid y = 4x2 ja y = 2x4 – x + 2 on paarisfunktsioonid. Selleks leiame f (x) ja f (–x) ning uurime kas need on võrdsed.
Esimesel juhul f (x) = 4x2, f (–x) = 4(–x)2 = 4x2, järelikult f (x) = f (–x).
Teisel juhul f (x) = 2x4 – x + 2, f (–x) = 2(–x)4 – (–x) + 2 = 2x4 + x + 2 ja f (x) ≠ f (–x).
Seega funktsioon y = 4x2 on paarisfunktsioon, kuid y = 2x4 – x + 2 ei ole.
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f (–x) = –f (x).
Ka siin peab funktsiooni määramispiirkond olema sümmeetriline x-telje 0-punkti suhtes.
Võrdusest f (–x) = –f (x) nähtub, et paaritu funktsiooni väärtused kohtadel x ja –x erinevad ainult märgi poolest.
Näide 2.
Kontrollime, kas funktsioonid y = 2x4 – x + 2 ja y = x3 – x on paaritud funktsioonid. Selleks leiame f (–x) ja –f (x).
Esimesel juhul f (–x) = 2x4 + x + 2, –f (x) = –(2x4 – x + 2) = –2x4 + x –2 ning f (–x) ≠ –f (x).
Teisel juhul f (–x) = (–x)3 – (–x) = –x3 + x, –f (x) = –(x3 – x) = –x3 + x ning f (–x) = –f (x).
Järelikult funktsioon y = 2x4 – x + 2 ei ole paaritu, kuid funktsioon y = x3 – x on.
Paaritu funktsiooni graafiku sümmeetria uurimine
Uurime paaritu funktsiooni graafiku sümmeetriat. Olgu meil antud paaritu funktsioon y = f (x). Valime funktsiooni f (x) graafikul mingi punkti A(x; f (x)). Vaatleme graafikul teist punkti B, mille abstsiss on –x; seega punkti B(–x; f (–x)).
Et tegemist on paaritu funktsiooniga, siis f (–x) = –f (x) ja järelikult B koordinaadid on (–x; –f (x)). Saime, et punktide A ja B mõlemad koordinaadid erinevad teineteisest ainult märgi poolest. Nagu teame, on sellised punktid sümmeetrilised koordinaatide alguspunkti suhtes (joonis 2.28).
Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi:
TEOREEM 2. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.
Joonisel 2.29 on esitatud ühe paarisfunktsiooni y = g(x) graafik ja ühe paaritu funktsiooni y = f(x) graafik. Vasakpoolne graafik on sümmeetriline y-telje suhtes (funktsiooni väärtused kohal x ja –x on võrdsed). Parempoolne graafik on aga sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes (funktsiooni väärtused kohal x ja –x on teineteise vastandarvud).
Kui funktsioon ei ole paarisfunktsioon, ei järeldu sellest, et ta on tingimata paaritu funktsioon. Enamik funktsioone ei kuulu kumbagi nimetatud hulka. Nende funktsioonide kohta öeldakse, et nad pole paaris ega paaritud.
