Pöörd­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

Kui hulgal X on määratud funktsioon, siis vastab hulga X igale elemendile üks kindel element teisest hulgast Y.

Näide 1.

Olgu hulk X teie kooli õpilaste hulk ja hulk Y nende õpilaste vanuste (aastates) hulk. Hulgal X on määratud funktsioon, sest igale õpilasele vastab üks kindel vanus. Kui on antud hulga Y element (vanus aastates), siis ei saa me aga üheselt määrata, mis­suguse õpilasega on tegemist, sest ühe­vanuseid õpilasi on koolis mitu. Pöörd­vastavus pole ühene.

Näide 2.

Teame, et igale arvule vastab üheselt tema ruut. Kui hulgaks X on naturaal­arvude hulk, siis on vastavus hulkade X ja Y (arvu ruutude hulk) vahel üks­ühene, s.t igale arvule hulgast X vastab üks arv hulgast Y ja vastu­pidi, igale arvule hulgast Y vastab üks arv hulgast X (joonis 2.31a). Seega ka hulgal Y on määratud funktsioon. Kui aga hulgaks X on täis­arvude hulk, siis hulgal X on määratud funktsioon, kuid hulgal Y ei ole, sest ühele arvule hulgast Y vastab hulgas X mõni­kord kaks erinevat arvu (joonis 2.31b).

Joon. 2.31

Näidete 1 ja 2 põhjal võime öelda, et kui hulgal X on määratud mingi funktsioon, siis on kaks võimalust:

  1. hulga Y mõned elemendid vastavad hulga X mitmele elemendile. Siis ei saa sellise y põhjal üheselt leida, missugune element x temale vastab (näide 1, joonis 2.31b);
  2. hulga Y iga element vastab ainult ühele hulga X elemendile ehk hulga X erinevatele elementidele vastavad hulga Y erinevad elemendid. Sel juhul on ka hulgal Y määratud funktsioon (näide 2, joonis 2.31a).

Olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni muutumis­piirkonna Y igale elemendile y vastab üks ja ainult üks element x hulgast X nii, et y = f (x), siis on hulgal Y määratud funktsioon, mida nimetatakse esi­algse funktsiooni pöörd­funktsiooniks.

Joon. 2.32

Funktsiooni y = f (x) pöörd­funktsiooni tähistatakse x = f –1(y) (joonis 2.32). Me oleme harjunud aga funktsiooni argumenti tähistama tähega x ja funktsiooni väärtust tähega y, seega funktsiooni f pöörd­funktsioon oleks y = f –1(x). Pöörd­funktsiooni määramis­piirkonnaks on esi­algse funktsiooni muutumis­piirkond ja muutumis­piirkonnaks esi­algse funktsiooni määramis­piirkond.

Näide 3.

Funktsioonil y = 2x + 1 on pöörd­funktsioon, sest igale y väärtusele vastab üks kindel x väärtus (joonis 2.33a). Funktsioonil y = x2 + 1 puudub pöörd­funktsioon, sest y igale väärtusele (välja arvatud y = 1) vastab kaks erinevat x väärtust (joonis 2.33b). See­vastu funktsioonil y = x2 + 1, kus X = [0; ∞), on pöörd­funktsioon olemas (joonis 2.33c).

Joon. 2.33

Näide 4.

  1. Leiame funktsiooni y = 2x + 1 pöörd­funktsiooni. Selleks tuleb meil leida ees­kiri, mille järgi saab y igale väärtusele seada vastavusse x väärtuse. Selleks tuleb valemist y = 2x + 1 kõige­pealt avaldada x:

2x=y-1 ja ​x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}.

​Valem x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} võimaldabki y iga väärtuse jaoks arvutada x väärtuse ja esitabki esi­algse funktsiooni pöörd­funktsiooni (argument on y ja funktsiooni väärtus x). Tähistades argumendi tähega x ja funktsiooni väärtuse tähega y, saame funktsiooni y = 2x + 1 pöörd­funktsiooni y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} ehk teisiti: f (x) = 2x + 1 pöörd­funktsioon on f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}. Funktsioonide graafikud on joonisel 2.34a.

Joon 2.34
  1. Leiame funktsiooni y=x^2 pöörd­funktsiooni. Näites 3 selgitasime, et funktsioonil y=x^2 on pöörd­funktsioon olemas hulgal X = [0; ∞). Selle leidmiseks avaldame valemist y=x^2 muutuja x ja saame x=\sqrt{y}. Pärast muutujate x ja y vahetamist saame, et y=x^2 pöörd­funktsiooniks hulgal X = [0; ∞) on funktsioon y=\sqrt{x} ehk y=x^{\frac{1}{2}} (joonis 2.34b). See funktsioon on samuti astme­funktsioon (mida võib nimetada ka juur­funktsiooniks).
Joon. 2.35

Joonist 2.34a uurides näeme, et y = f (x) graafikul asub punkt (0; 1) ja y = f −1(x) graafikul punkt (1; 0); f (x) graafikul punkt (1; 3) ja f −1(x) graafikul punkt (3; 1).

Leidke sellise omadusega punkti­paare ka jooniselt 2.34b. Mis­suguste koordinaatidega punktid asuvad nii f (x) graafikul kui ka f −1(x) graafikul sama­aegselt?

Üldiselt, kui f (x) graafikul asub punkt (a; b), siis tema pöörd­funktsiooni f −1(x) graafikul asub punkt (b; a), joonis 2.35.

Funktsiooni ja tema pöörd­funktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.

Igal kasvaval ja igal kahaneval funktsioonil on olemas pöörd­funktsioon.

Tõe­poolest, kui funktsioon on kogu oma määramis­piirkonnas kasvav, siis vastavad x erinevatele väärtustele y erinevad väärtused ja vastu­pidi, y erinevatele väärtustele x erinevad väärtused.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Joon. 2.36

Üks­ühene vastavus:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)

Leidub pöörd­funktsioon:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)

y=-0,5x-2

Pöörd­funktsioon: y = 

y=-8x-5

Pöörd­funktsioon: y = 

y=\frac{x-3}{2}

Pöörd­funktsioon: y = 

y=\frac{1}{3}x-5

Pöörd­funktsioon: y = 

y=x^2-3

Pöörd­funktsioon: y = 

y=\frac{-x}{4}

Pöörd­funktsioon: y = 

y=-0,5x^2, x\ge0

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

y=-x+6

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

y=-x^2+4, x\le0

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

y=x^3

Antud funktsioon:

X = 

Y = 

Pöörd­funktsioon:

X = 

Y = 

  1. Joonestage (arvuti abil) funktsiooni y=\frac{2}{x-1} graafik. Leidke selle funktsiooni määramis­piirkond X ja muutumis­piirkond Y.
    Vastus. X = ; Y = .
  2. Leidke vaadeldava funktsiooni pöörd­funktsioon ja joonestage selle graafik.
    Vastus. Pöörd­funktsioon on .
  3. Leidke pöörd­funktsiooni määramis- ja muutumis­piirkond.
    Vastus. X = ; Y = .

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=-x+3

y = 

y=\frac{2}{x}

y = 

y=\frac{1-x}{1+x}

y = 

Tooge veel näiteid funktsioonidest, millel on eelnevate pöörd­funktsioonide puhul ilmnenud omadus.

Seotud sisu
Muud tegevused