Avaldise logaritmimine ja potentseerimine

Kursus „Funktsioonid”

Vaatleme mõningaid logaritmide omadusi. Tuletame see­juures meelde, et logaritmi saab leida vaid positiivsest arvust, mis tähendab, et järgmised seosed kehtivad vaid positiivsete logaritmitavate korral.

Logaritmide omadusi:

1. Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t
loga N1N2 = loga N1 + loga N2.

Näide 1.

Arvutame log 200, kui on teada, et log 2 ≈ 0,3010. Et 200 = 2 · 100, siis

log 200 = log (2 ⋅100) = log 2 + log 100 ≈ 0,3010 + 2 = 2,3010.

2. Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t
​logaN1N2=logaN1-logaN2.

Näide 2.

Arvutame log 0,0002, teades, et log 2 ≈ 0,3010. Et 0,0002 = 2 : 10 000, siis

\log0,0002 = \log\frac{2}{10\ 000} = \log2-\log10\ 000 ≈ 0,3010-4 = -3,6990.

3. Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega s.t
​loga Nc = c log a N.

Näide 3.

Arvutame \log\sqrt[3]{2}, kui on teada, et log 2 ≈ 0,3010. Kuna \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}, siis

​\log\sqrt[3]{2} = \log2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\log2 ≈ 0,1003.

Saadud valemeid kasutatakse ka avaldiste logaritmimisel, s.t avaldiste logaritmide avaldamisel neis esinevate suuruste logaritmide kaudu.

Näide 4.

Logaritmime avaldise y alusel a, kui y=\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} ja x, u, v > 0:

\log_ay = \log_a\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} = \log_a49x^3-\log_a8u^5\sqrt[3]{v^2} = \log_a49+\log_ax^3-\left(\log_a8+\log_au^5+\log_av^{\frac{2}{3}}\right) = 2\log_a7+3\log_ax-3\log_a2-5\log_au-\frac{2}{3}\log_av.

Näide 5.

Arvutame avaldise 4u4v5 kümnend­logaritmi, kui on teada, et log 2 ≈ 0,3010, log u = 2,5 ja log v = –3.

\log4u^4v^5 = \log4+\log u^4+\log v^5 = 2\log2+4\log u+5\log v ≈ 2\cdot0,3010+4\cdot2,5+5\cdot\left(-3\right) = -4,3980.

Näide 6.

Lahendame eksponent­võrrandi 3x = 23,5.

Logaritmime antud võrdust alusel 10:

\log3^x=\log23,5 ⇒ x\log3=\log23,5, millest x=\frac{\log23,5}{\log3}\approx2,874.

Näide 7.

Aastatel 1970–2006 kasvas Aafrika rahvastik keskmiselt 2,62% aastas ja oli 2006. aastaks 925 miljonit. Leiame, mis ajaks kahe­kordistub Aafrika rahva­arv.

Et rahvastik kasvab liit­protsendilise kasvamise seaduse järgi, siis esitub see eksponent­funktsioonina y = 925 · 1,0262x. Ülesande tingimuste kohaselt peab Aafrika rahvastik kahe­kordistuma, seega 925 · 1,0262x = 2 · 925 ehk 1,0262x = 2.

Logaritmime võrdust alusel 10: log 1,0262x = log 2. Siit saame, et x log 1,0262 = log 2 ja x = log 2 : log 1,0262 ≈ 26,8. Seega kahe­kordistub Aafrika rahva­arv, võrrelduna 2006. aastaga, aastal 2033.

Avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist nimetatakse potentseerimiseks. See­juures tuleb logaritme sisaldavate avaldiste teisendamisel kasutada tuletatud valemeid n-ö tagur­pidi.

Näide 8.

Leiame arvu x, kui log9 x = 2,5.

Arvu x leidmiseks potentseerime võrdust log9 x = 2,5. Tulemusena saame, et x = 92,5 ehk x = 35 = 243.

Näide 9.

Leiame avaldise z, kui \log_7z=6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w.

Avaldise z leidmiseks teisendame esmalt selle võrduse paremat poolt:

6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w = \log_72^6+\log_7u^3+\log_7v^{\frac{2}{3}}-\log_7w^4 = \log_764u^3\sqrt[3]{v^2}-\log_7w^4 = \log_7\frac{64u^{3\sqrt[3]{v^2}}}{w^4}.

Võrduse \log_7z=\log_7\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4} potentseerimisel saame:

z=\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

xy^2, kui a = 10

8x^{-4}y^6, kui a = e

u^9:\ c^3, kui a = e

b^2\left(c^5b^8\right), kui a = 10

27x^{12}y^5z^{-3}, kui a = 10

81u^{1,5}\sqrt{v^5}, kui a = e

\log32 =  = 

\log0,04 =  = 

\log\sqrt{5} =  = 

\log\sqrt[5]{2} =  = 

\log\sqrt[3]{5} =  = 

\log\sqrt[4]{2} =  = 

\log\frac{2}{5} =  = 

\log\frac{25}{128} =  = 

\log\left(2^{-7}\cdot5^4\right) =  = 

\log12,5 =  = 

\log0,8 =  = 

\log100 =  = 

Arv

Arvu kümnend­logaritm

19,5

195

1950

19 500

Arv

Arvu kümnend­logaritm

0,195

0,00195

1,95 ⋅ 10–10

19,55

\log x=0,51\log a
x = 

\log x=3\ \log a+\log b
x = 

\log x=-\log u
x = 

\log x=2\ \log u-3\log v
x = 

\log x=0,5\log a+5\log b
x = 

\log x=u\log2-2\log u
x = 

\log x=1+\log b-\log a
x = 

\log x=3-\log5-\log c
x = 

\ln x=5\ln2\ +3\ln a
x = 

\ln x=4\ln a+\ln\left(a+b\right)
x = 

\log_7x=\log_7c-3\log_7b
x = 

\log_2x=0,25\log_216-\log_2a
x = 

\log x=2\log7+\log2
x = 

\log2-\log x=\log3
x = 

\log_4x=3\log_42+\frac{2}{3}\log_45
x = 

\log_2x+4\log_23-1=0
x = 

\ln3+\frac{1}{2}\ln5+\frac{1}{2}\ln x=\ln6
x = 

\ln x-\ln\left(x-1\right)=\ln2
x = 

5\log_2x=3\log_2x+6
x = 

2\log x-\log12=\log x
x = 

Vastus. Aafrika rahva­arv 2016. aasta lõpuks oli selle ennustuse põhjal  miljardit, mis on %  tegelikust rahva­arvust.

Vastus. Euroopa rahvastik kasvas keskmiselt % aastas. Kasvu senisel jätkumisel kahe­kordistub Euroopa rahva­arv  aastaga.

Vastus. Aasia rahvastik kasvas keskmiselt % aastas. Kasvu senisel jätkumisel kahe­kordistub Aasia rahva­arv  aastaga.

Vastus. Joosep saab selle auto osta  aasta pärast.

Joon. 2.47

Vastus. a = , b = 

y = 

Arvutage saadud valemiga auto pidurdus­tee pikkus täis­meetrites, ümardades tulemuse üles­poole lähimaks 5-ga või nulliga lõppevaks arvuks, kui auto kiirus on 40 km/h, 65 km/h, 95 km/h, 120 km/h.

Vastus. Kiirusel 40 km/h on auto pidurdus­tee pikkus  m; kiirusel 65 km/h  m; kiirusel 95 km/h  m; kiirusel 120 km/h  m.

  • Kujutage tabeli andmete põhjal jahtuva keha temperatuuri ja aja vaheline seos graafiliselt.
  • Eeldame, et kõne­alune seos avaldub kujul T = ae–bt, kus muutuja t on aeg ja T on vee temperatuur. Leidke parameetrid a ja b.

    Vastus. a = °, b = 
  • Arvutage vee temperatuur, kui nõu koos veega on jahtunud 2; 15; 43; 50 minutit.

    Vastus. Kui nõu koos veega on jahtunud 2 minutit, siis on vee temperatuur °; kui 15 minutit, siis °; kui 43 minutit, siis °; kui 50 minutit, siis °.
Joon. 2.47

Vastus. Maksimaalne kiirus võib olla ligikaudu  km/h.

Vastus. k = . Bakterite mass kahe­kordistub  tunni pärast.

Seotud sisu
Muud tegevused