Logaritm­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

Leiame eksponent­funktsiooni y = ax pöörd­funktsiooni. Selleks avaldame argumendi x (astendaja) funktsiooni väärtuse y (astme väärtuse) kaudu: x = loga y. Et see võrdus seab suuruse y igale lubatavale väärtusele vastavusse x väärtuse, siis on tegemist funktsiooniga. Tähistame traditsiooniliselt funktsiooni argumendi tähega x ja funktsiooni väärtused tähega y, s.t y = loga x. Nii saime funktsiooni y = ax, kus a > 0 ja a ≠ 1 pöörd­funktsiooni y = loga x, kus a > 0, a ≠ 1 ja x > 0, mida nimetatakse logaritm­funktsiooniks.

Logaritm­funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = loga x, kus a > 0, a ≠ 1.

Logaritm­funktsioon on eksponent­funktsiooni y = ax, a > 0, a ≠ 1 pöörd­funktsioon.

Näiteks funktsiooni y = 3x pöörd­funktsioon on logaritm­funktsioon y = log3 x.

Et logaritm­funktsioon on eksponent­funktsiooni pöörd­funktsioon, siis logaritm­funktsiooni graafik saadakse eksponent­funktsiooni graafiku peegeldamisel sirgest y = x. See tähendab, et funktsioonide y = loga x ja y = ax graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 2.48 ja 2.49).

Joon. 2.48
Joon. 2.49

Samal põhjusel on logaritm­funktsiooni y = loga x määramis­piirkonnaks eksponent­funktsiooni muutumis­piirkond ja muutumis­piirkonnaks eksponent­funktsiooni määramis­piirkond, s.t X = (0; ∞) ehk X = R+ ja Y = (−∞; +∞) ehk Y = R.

Logaritm­funktsiooni graafiku (joon. 2.50) üldisi omadusi:

  1. Graafik läbib x-telje punkti (1; 0) ehk logaritm­funktsiooni null­kohaks on x = 1.
  2. Graafiku asümptoodiks on y-telg.
  3. Graafik läbib punkti (a; 1), sest loga a =1.
Joon. 2.50

Logaritm­funktsiooni graafikutelt (joonisel 2.50) loeme välja omadused, mis sõltuvad logaritmi alusest a:

  1. Kui a > 1.
    1. Positiivsus­piirkonnaks X+ on vahemik 1 < x < ∞ ehk X+ = (1; ∞).
      ​Negatiivsus­piirkonnaks X– on vahemik 0 < x < 1 ehk X– = (0; 1).
    2. Funktsioon on kasvav kogu määramis­piirkonnas, s.t X↑ = X = R+.
    3. Argumendi x väärtuste tõkestamatul kasvamisel kasvavad loga x väärtused tõkestamatult ehk kui x → ∞, siis y → ∞. Kui argumendi väärtused lähenevad tõkestamatult nullile, vähenevad loga x väärtused tõkestamatult, ehk kui x → 0, siis y → −∞.
  2. Kui 0 < a < 1.
    1. Positiivsus­piirkonnaks X+ on vahemik 0 < x < 1 ehk X+ = (0; 1).
      Negatiivsus­piirkonnaks X– on vahemik 1 < x < ∞​ ehk X– = (1; ∞).
    2. Funktsioon on kahanev kogu määramis­piirkonnas, s.t X↓ = X = R+.
    3. Argumendi x väärtuste tõkestamatul kasvamisel vähenevad loga x väärtused tõkestamatult ehk kui x → ∞, siis y → − ∞. Kui argumendi väärtused lähenevad tõkestamatult nullile, kasvavad loga x väärtused tõkestamatult ehk kui x → 0, siis y → ∞.

Logaritm­funktsioonide y = log x ja y = ln x graafikud on joonisel 2.51. Sellelt on ka näha, kuidas mõjub logaritm­funktsiooni graafikule aluse kasvamine.

Joon. 2.51

Näide 1.

Selgitame, kas 1) log5 0,6; 2) log0,8 9; 3) ln 2 on positiivne või negatiivne.

Tugineme logaritm­funktsiooni omadustele või vastava funktsiooni graafikule joonisel 2.50:

  1. log5 0,6 < 0, sest a = 5 > 1 tõttu kuulub argumendi väärtus 0,6 funktsiooni y = log5 x negatiivsus­piirkonda;
  2. log0,8 9 < 0, sest a = 0,8 < 1 tõttu kuulub argumendi väärtus 9 funktsiooni y = log0,8 x negatiivsus­piirkonda;
  3. ln 2 > 0, sest argumendi väärtus 2 kuulub funktsiooni y = ln x positiivsus­piirkonda (joonis 2.51).

Näide 2.

Selgitame, kumb on suurem, kas 1) log 2 või log 6; 2) log0,2 3 või log0,2 0,7.

  1. Et funktsioon y = log x on kasvav (joon. 2.51), siis vastab argumendi suuremale väärtusele suurem funktsiooni väärtus ja log 2 < log 6.
  2. Et funktsioon y = log0,2 x on kahanev (joon. 2.50), siis vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus. Seega log0,2 3 <  log0,2 0,7.

Näide 3.

Leiame funktsiooni y = log (x2 − x3) määramis­piirkonna, s.t argumendi x väärtuste hulga, mille korral funktsiooni väärtusi saab arvutada.

Logaritmitav peab olema alati positiivne, seega

x^2−x^3>0 ehk x^2(1-x)>0.

Et x ≠ 0 (nullist ei saa logaritmi leida), siis x^2>0 ja 1-x>0, millest x<1. Tingimuse x ≠ 0 tõttu koosneb määramis­piirkond kahest vahemikust: X=\left(-∞;\ 0\right)\cup\left(0;\ 1\right).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=6^x

y = 

y=0,3^x

y = 

y=2^{3x}

y = 

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=0,6^{2x}

y = 

y=2^{-x}

y = 

y=e^x

y = 

Antud funktsioon

Pöörd­funktsioon

y=\log_8x

y = 

y=\log_{1,2}x

y = 

y=\log_{0,1}x

y = 

Joon. 2.51

Milline on nende funktsioonide korral määramis­piirkond, null­kohad, positiivsus- ja negatiivsus­piirkond, kasvamis- ja kahanemis­vahemik ning millised on ekstreemum­kohad?

X

X_0

X^+

X^-

X\uparrow

X\downarrow

X_e

y=\ln x

y=\log x

Joon. 2.50

Vastus. Kui a > 1, siis joonisel oleva logaritm­funktsiooni alus a =  ja kui 0 < a < 1, siis joonisel a = .

Vastus. X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

Vastus. X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

Vastus. X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_e = .

\log_46 on 

\log_27 on 

\log_50,49 on 

\log_{0,83}4 on 

\log_{0,2}0,7 on 

\log_41 on 

\log0,6 on 

\log9 on 

\ln3 on 

\ln0,4 on 

\ln0,7 on 

\log66 on 

\log_23  \log_210

\log_50,9  \log_54

\log_{0,5}0,6  \log_{0,5}6

\log_{0,1}10  \log_{0,1}8

\log_{\sqrt{2}}1  \log_{\sqrt{2}}0,7

\log\frac{1}{7}  \log7

\log0,73  \log0,74

\ln5  \ln6

\ln0,125  \ln2^{-3}

\ln2^{-7}  \ln2^{-6}

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log_ax

\log_a\left(-x\right)

\log_a\left(x+4\right)

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log\left(x^2-1\right)

\log_ax^2

\log\left(2x-3\right)

Antud funktsioon

Määramis­piirkond

\log_3\left(x^2-10x+21\right)

\log_28x

\ln\left(x^2+5x\right)

Seotud sisu
Muud tegevused