Tangens­funktsioon

Kursus „Funktsioonid”

Tangens­funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = tan x, x≠(2n+1)π2, n ∈ Z.

Funktsiooni y = tan x määramis­piirkond X koosneb vahemikest

…, -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, …

ehk määramis­piirkonna moodustavad reaal­arvud x ∈ R, mille korral x\ne\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, kus n ∈ Z.

Tangens­funktsiooni muutumis­piirkond Y = R ehk -∞<\tan x<+∞.

Seosest \tan\left(-x\right)=-\tan x järeldub, et

tangens­funktsioon on paaritu funktsioon

ja see­tõttu

tangens­funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide algus­punkti suhtes.

Tangens­funktsiooni graafiku (joon. 2.56) saame konstrueerida üksikute punktide järgi või siis arvuti abil. Tangens­funktsiooni graafikuks on tangensoid.

Joon. 2.56​

Tangens­funktsiooni graafikult on näha, et

tangens­funktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga π.

Järelikult kehtib nurga α korral valem

tan (α + nπ) = tan α, kus n ∈ Z.

Väärtustel x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2} tangens­funktsiooni graafik katkeb. Tangens­funktsiooni graafik koosneb seega üksikutest osadest − harudest, mis lähenevad tõkestamatult punktiiriga märgitud sirgetele, asümptootidele. Viimaste võrrandid esituvad kujul

x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, kus n ∈ Z.

Tangens­funktsiooni graafikult on näha, et kahanemis­piirkonnad puuduvad, s.t X\downarrow=\varnothing, kasvamis­piirkonnad on X\uparrow=\left(-\frac{\pi}{2}+n\pi;\ \frac{\pi}{2}+n\pi\right), n ∈ Z.

Näide 1.

Mis märgiga on \tan\frac{9\pi}{4}?

Argumendi väärtus x=\frac{9\pi}{4} kuulub tangens­funktsiooni positiivsus­piirkonda \left(2\pi<\frac{9\pi}{4}<\frac{5\pi}{2}\right). See­tõttu on ka \tan\frac{9\pi}{4}>0.

Näide 2.

Võrdleme tan (–3,7) ja tan (–2) väärtusi.

Kehtib võrratus tan (–3,7) < tan (–2), sest argumendi väärtused –3,7 ja –2 kuuluvad vahemikku -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, kus tangens­funktsioon on kasvav.

Näide 3.

Lahendame võrrandi tan x = 1.

Et võrrandit tan x = 1 rahuldab argumendi väärtus \frac{\pi}{4}​ ja tangens­funktsioon on perioodiline perioodiga π, siis on selle võrrandi lahendeiks x=\frac{\pi}{4}+n\pi, kus n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Argumendi väärtus

x=0

x=\frac{\pi}{3}

x=\frac{\pi}{2}

x=-\frac{\pi}{4}

Funktsiooni väärtus

Argumendi väärtus

x=\frac{7\pi}{10}

x=\frac{4\pi}{9}

x=1,03

x=-3,1

Funktsiooni väärtus

Joon. 2.56
  1. positiivsus- ja negatiivsus­piirkond.
    Vastus. X^+ = , X^- = 
  2. null­kohad.
    Vastus. X_0 = 
  3. kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.
    Vastus. X_n\uparrow = , X\downarrow = 
  4. ekstreemus­kohad.
    Vastus. X_e = 

Avaldis

Avaldise märk

\tan4,5

\tan\left(-6\right)

\tan\left(-1,8\right)

\tan6

Avaldis

Avaldise märk

\tan\frac{7\pi}{4}

\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)

\tan\left(-2\pi\right)

\tan\frac{2\pi}{3}

\tan\frac{\pi}{3}  \tan\frac{4\pi}{9}

\tan\left(-\frac{5\pi}{12}\right)  \tan\frac{\pi}{18}

\tan3,2  \tan4

\tan\left(-0,4\right)  \tan1

Seotud sisu
Muud tegevused