Võrrandi cos x = m lahendamine

Kursus „Funktsioonid”

Võrrandil \cos x=m on olemas lahendid vaid siis, kui |m|\le1, sest alati on -1\le\cos x\le1.

Võrrandi \cos x=m lahendi­valemi tuletamine toimub täiesti sama idee järgi kui võrrandi \sin x=m korral. Tulemuseks saame lahendi­valemi ehk üld­lahendi kujul

x = ± arccos m + 2nπ, kus n ∈ Z.

Kui arccos leitakse kraadi­mõõdus, on see valem kujul

x = ± arccos m + n · 360°, kus n ∈ Z.

Kui võrrandi \cos x=m üld­lahend on leitud, tuleb kontrollida nende nurkade sobivust alg­võrrandisse. Selleks piisab, kui kontrollida vaid nurki, mis saadakse kui n=0, s.t nurki \pm\arccos m.

Näide 1.

Leiame võrrandi \cos x=0,5 üld­lahendi ja eri­lahendid piir­konnas [-2\pi;\ 2\pi] (vt ka joon. 2.55).

Et \cos60°=0,5, siis võrrandi üld­lahend avaldub kujul x=\pm60°+n\cdot360°, kus n ∈ Z. Pole raske näha, et võõr­lahendeid üld­lahendis ei esine.

Leiame lahendid, mis asuvad piir­konnas [-2\pi;\ 2\pi]. Selleks anname suurusele n täis­arvulisi väärtusi. Kui n=0, siis x=\pm60°, mis asuvad piir­konnas; kui n=1, siis x=420° läheb piir­konnast välja, x=300° asub piir­konnas; n=-1 korral x=−300° asub piir­konnas, x=−420° ei asu piir­konnas.

Eri­lahendid on seega x_1=-300°, x_2=-60°, x_3=60°, x_4=300°.

Näide 2.

Leiame võrrandi \sin x-\cos x=1 lahendid lõigul −2\pi\le x\le2\pi.

Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

(\sin x-\cos x)^2=1^2 ⇒ \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1 ⇒ \sin x\cos x=0.

Viimasest võrrandist:

  1. kui \sin x=0, siis x=n\pi, millest nurgad −2π, −π, 0, π ja 2π kuuluvad nõutud lõiku, aga esi­algset võrrandit rahuldavad vaid nurgad −π ja π;
  2. kui \cos x=0, siis x=\pm\frac{\pi}{2}+2n\pi, mille nurgad -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} kuuluvad nõutud lõiku, aga esi­algset võrrandit rahuldavad vaid nurgad -\frac{3\pi}{2} ja \frac{\pi}{2}.

Vastus: antud võrrandi lahendid on -\frac{3\pi}{2}; -\pi; \frac{\pi}{2}; \pi.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

\cos x=\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\cos x=0
x = , n ∈ Z.

2\cos x=3,7
x ≈ , n ∈ Z.

\cos x=0,06543
x ≈ , n ∈ Z.

4\cos x-1,24=0
x ≈ , n ∈ Z.

y=\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}
x = , n ∈ Z.

y=\cos x+7
x = , n ∈ Z.

y=-3\cos x-0,94
x ≈ , n ∈ Z.

y=2-4\cos x
x = , n ∈ Z.

3\cos x=1, \left[0;\ 2\pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ 

5+\cos x=4\cos x-7, \left(-∞;\ +∞\right)
x = , n ∈ Z.

\cos x=-0,4, \left(-\pi;\ \pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = 

\sqrt{2}\sin^2x+\cos x=0, \left[-2\pi;\ 2\pi\right]
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 

\cos x=\sin^2x, \left(-\pi;\ 2\pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = 

2\cos^2x-5\cos x-3=0, \left[-2\pi;\ 2\pi\right]
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 

\cos^3x=0,512, \left[0°;\ 540°\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ 

\cos^2x+3\cos x=0, \left(-∞;\ +∞\right)
x = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused