Võrrandi tan x = m lahendamine

Kursus „Funktsioonid”

Võrrandi \tan x=m üheks lahendiks on nurk \mathrm{\alpha}=\arctan m (joonis 2.57) vahemikust \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right). Selles vahemikus võrrandil rohkem lahendeid pole. Et saada võrrandi \tan x=m kõiki lahendeid, tuleb lisada nurgale \arctan m täis­arvu­kordne periood π.

Joon. 2.57

Tulemusena saame nn üld­lahendi

x = arctan m + nπ, kus n ∈ Z.

Kui võrrandi tan x = 0 lahendid leitakse kraadi­mõõdus, saame üld­lahendi kujul

x = arctan m + n · 180°, kus n ∈ Z.

Näide 1.

Lahendame võrrandi \tan x=-1.

Et \arctan\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}, siis x=-\frac{\pi}{4}+n\pi, kus n ∈ Z.

Lahendite õigsuse kontrolliks esi­algses võrrandis tuleb kontrollida vaid nurga \arctan m \left(n=0\right)sobivust.

Näide 2.

Leiame funktsiooni y=\tan x-\sin x null­kohad.

Selleks lahendame võrrandi y=0 ehk \tan x-\sin x=0. Teeme seda järgmiselt:

\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=0 ⇒ \frac{\sin x-\sin x\cdot\cos x}{\cos x}​=0 ⇒ \sin x\left(1-\cos x\right)=0.

Kui viimases võrrandis esimene tegur on null, siis \sin x=0, millest x_1=(-1)^n\cdot0+n\pi ehk x_1=n\pi; kui aga teine tegur on null, siis \cos x=1 ja x_2=2n\pi. Kontrollimisel selgub, et sobivad kõik üld­lahenditega antud nurgad. Et aga lahend x_1=n\pi, n ∈ Z sisaldab ka teise üld­lahendi kõiki väärtusi, siis funktsiooni y=\tan x-\sin x null­kohad esituvad kujul x=n\pi, n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

\tan x=0,998, \left(-∞;\ +∞\right)
x ≈ , n ∈ Z.

\tan x=9, \left[-\pi;\ \pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ 

\tan x=-2,0036, \left[-2\pi;\ 2\pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ 

3\tan x=4\tan^2x, \left[-\pi;\ \pi\right]
x1 = , x2 ≈ , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = 

\tan^2x+3=2\sqrt{3}\tan x, \left(-1,5\pi;\ 1,5\pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = 

2\tan^2x+3\tan x+1=0, \left(-∞;\ +∞\right)
tan x = , tan x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

y=3\tan x-\sqrt{3}
x = , n ∈ Z.

y=\tan x-1
x = , n ∈ Z.

y=\tan x+5
x ≈ , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused