Funktsiooni tuletis

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Liikumise hetk­kiiruse ja funktsiooni graafiku puutuja tõusu valemi leidmisel jõudsime selleni, et mõlemal juhul läheneb funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx jagatis teatud avaldisele, kui Δx\to0. Seda avaldist nimetatakse funktsiooni y=f(x) tuletiseks ja tähistatakse sümboliga f'\left(x\right) või \left[f\left(x\right)\right]' või y'.

Seega

funktsiooni y = f(x) tuletiseks on suurus f '(x), millele läheneb funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatis ΔyΔx, kui Δx → 0, ehk kui Δx → 0, siis ΔyΔx→f'(x).

Kasutades funktsiooni piir­väärtuse mõistet ja kirja­pilti:

funktsiooni y = f(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piir­väärtust, kui argumendi muut läheneb nullile:

f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x + Δx) - f(x)Δx.

Näide.

Kahe eelmise peatüki näidete põhjal võime öelda, et keha vaba langemise seaduse (funktsiooni) s=\frac{gt^2}{2} tuletis s'=gt ja funktsiooni y=\frac{1}{x} tuletis y'=-\frac{1}{x^2}.

Et funktsiooni y=\frac{1}{x} tuletis on y'=-\frac{1}{x^2}, tasub meelde jätta.

Kui funktsioonil y=f\left(x\right) on kohal x0 tuletis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv kohal x0.

Kui argumendi x väärtus x0 on fikseeritud, on f′(x_0) arv.

Eelmises näites olevate funktsioonide tuletised on oma olemuselt uued funktsioonid. Nii kannab ka funktsiooni y=f\left(x\right) tuletis y'=f'\left(x\right) nimetust tuletis­funktsioon.

Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks.

Matemaatika haru, mis uurib tuletise ja sellega seotud mõistete omadusi ning rakendusi, nimetatakse diferentsiaal­arvutuseks. See tekkis 17. sajandi teisel poolel. Loojateks olid (teine­teisest sõltumatult) saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ning inglise füüsik, astronoom ja matemaatik Isaac Newton (1643–1727). Tööstuse ja tehnika arengule oli diferentsiaal­arvutuse loomine ja sellele järgnev matemaatika areng olulise tähtsusega.

Kui funktsioon y=f\left(x\right) kirjeldab mingit protsessi, määravad suurused \frac{\Delta y}{\Delta x} ja f′(x) vastava protsessi kulgemise keskmise ja hetk­kiiruse argumendi x suhtes. Esitagu näiteks funktsioon y=f\left(x\right) metall­varda pikkuse y sõltuvust varda temperatuurist x. Siis \frac{\Delta y}{\Delta x} annab varda pikenemise keskmise kiiruse temperatuuri suhtes; täpsemalt temperatuuri muutuse Δx ulatuses alates temperatuurist x kraadi. Tuletis f′(x) annab aga varda pikenemise hetkelise kiiruse temperatuuril x kraadi.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

y=x^2
y′ = 

y=5x
y′ = 

y=x
y′ = 

y=4x^2
y′ = 

y=x^2+5x
y′ = 

y=4x^2-x
y′ = 

y=-x
y′ = 

y=2x^{-1}
y′ = 

Seotud sisu
Muud tegevused