Funktsioonide summa tuletis

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Eelmises pea­tükis leidsime mõne funktsiooni tuletise definitsiooni abil. Nagu näidetes veendusime, on see küllalt töö­mahukas. Lihtsam on jätta meelde diferentseerimise üld­reeglid ja sagedamini esinevate funktsioonide tuletised. Järgnevalt vaatlemegi neid.

1. Konstantse funktsiooni tuletis.

Konstantse funktsiooni y=c väärtused on argumendi x iga väärtuse korral võrdsed ühe ja sama arvuga c. Funktsiooni y=c graafikuks on ju sirge, mis on paralleelne x-teljega ja lõikab y-telge kohal c. Leiame y=c tuletise:

Δy = f\left(x+Δx\right)-f\left(x\right) = c-c = 0;

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0;

y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→00=0.

Järelikult

konstandi tuletis on null, st c' = 0.

Näide 1.

  1. Kui y = 364,2, siis y' = 364,2' = 0;
  2. kui y = –8, siis y' = (–8)' = 0;
  1. kui y = π, siis y' = π' = 0;
  2. kui y=\sin\frac{\pi}{7}, siis y'=\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)^'=0.

2. Argumendi tuletis.

Vaatleme funktsiooni y=x. Siis

Δy = f\left(x+Δx\right)-f\left(x\right) = \left(x+Δx\right)-x = Δx;

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1;

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01=1.

Seega,

argumendi tuletis on üks, s.t x' = 1.

3. Funktsioonide summa tuletis.

Olgu antud funktsioonid y=f\left(x\right) ja y=g\left(x\right). Moodustame funktsiooni y=f\left(x\right)+g\left(x\right) ja leiame selle tuletise. Teeme seda näite abil.

Näide 2.

Olgu antud funktsioonid f\left(x\right)=x^2 ja g\left(x\right)=3x. Moodustame funktsiooni y=x^2+3x ja leiame selle tuletise:

Et

Δy = \left(x+Δx\right)^2+3\left(x+Δx\right)-\left(x^2+3x\right) = x^2+2x\cdotΔx+\left(Δx\right)^2+3x+3Δx-x^2-3x = 2x\cdotΔx+\left(Δx\right)^2+3Δx,

siis \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2+3\Delta x}{\Delta x} = 2x+\Delta x+3.

Kui Δx\to0, siis \frac{\Delta y}{\Delta x}\to2x+3 ehk y′=2x+3.

Leiame nüüd eraldi funktsioonide f\left(x\right)=x^2 ja g\left(x\right)=3x tuletised ja võrdleme neid eelmise tulemusega.

Funktsiooni f\left(x\right)=x^2 korral on

\Delta y = \left(x+\Delta x\right)^2-x^2 = x^2+2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2-x^2 = 2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2

ja \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2}{\Delta x} = 2x+\Delta x.

Kui nüüd Δx\to0, siis \frac{\Delta y}{\Delta x}\to2x. Seega f′\left(x\right)=2x.

Funktsiooni g\left(x\right)=3x korral on

Δy = 3\left(x+Δx\right)-3x = 3x+3Δx-3x = 3Δx

ja \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3.

Kui nüüd Δx\to0, siis \frac{\Delta y}{\Delta x}\to3. Seega g'\left(x\right)=3.

Võrreldes funktsiooni y=x^2+3x tuletist \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^'=2x+3 kummagi funktsiooni eraldi leitud tuletiste summaga f'\left(x\right)+g'\left(x\right)=2x+3, näeme, et need on samad. Järelikult \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right).

Näite najal veendusime, et

[f (x) + g (x)]' = f '(x) + g'(x).

Sõnastatult:

kahe funktsiooni summa tuletis võrdub liidetavate funktsioonide tuletiste summaga.

Näide 3.

Leiame 1) funktsiooni y=x+7 ja 2) funktsiooni y=\frac{x^2+1}{x} tuletise.

  1. (x + 7)' = x' + 7' = 1 + 0 = 1.
  1. Et \left(\frac{1}{x}\right)^'=-\frac{1}{x^2}, siis \left(\frac{x^2+1}{x}\right)^' = \left(x+\frac{1}{x}\right)^' = x'+\left(\frac{1}{x}\right)^' = 1-\frac{1}{x^2}.

Funktsioonide summa diferentseerimise reeglit võib laiendada ka kolmele ja enamale liidetavale. Näiteks

\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]^' = \left\{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]+h\left(x\right)\right\}^' = \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^'+h'\left(x\right) = f'\left(x\right)+g'\left(x\right)+h'\left(x\right).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

y=25
y' = 

y=-0,009
y' = 

y=10
y' = 

y=-\pi
y' = 

y=e^{-3}
y' = 

y=\pi\cdot e
y' = 

y=\sin\frac{\pi}{6}
y' = 

y=\tan7,7
y' = 

y=\log10
y' = 

y=x+44
y' = 

y=x+e
y' = 

y=x-10
y' = 

y=\frac{x+1}{x}
y' = 

y=\frac{1}{x}+5
y' = 

y=\frac{1-8x}{x}
y' = 

Seotud sisu
Muud tegevused