Funktsioonide korrutise ja vahe tuletis

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

1. Funktsioonide korrutise tuletis.

Olgu funktsioonid y=f\left(x\right) ja y=g\left(x\right) kohal x diferentseeruvad. Võtame teadmiseks, et

[f (x) · g (x)]' = f '(x) · g (x) + f (x) · g'(x).

Sõnastatult:

kahe funktsiooni korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele on liidetud esimese teguri ja teise teguri tuletise korrutis.

Näide 1.

Leiame \left(x^2\right)^'.

Et \left(x^2\right)=x\cdot x, siis \left(x^2\right)^' = \left(x\cdot x\right)' = x′\cdot x+x\cdot x′ = 1\cdot x+x\cdot1 = 2x.

Järelikult

(x2)' = 2x.

2. Funktsiooni y = c ⋅ f (x), kus c on konstant, tuletis.

Kasutame korrutise tuletise leidmise reeglit:

\left[c\cdot f\left(x\right)\right]^' = c′\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = 0\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = c\cdot f′\left(x\right).

Seega,

konstantse teguri võib tuua tuletise märgi alt välja tegurina, s.t
​[c · f (x)]′ = c · f '(x),

Näide 2.

Leiame \left(6x\right)′.

Et 6x=6\cdot x, siis \left(6x\right)′=6′\cdot x+6\cdot x′=0\cdot x+6\cdot1=6.

Näide 3.

Leiame \left(5x^2\right)^'.

\left(5x^2\right)^'=5\cdot\left(x^2\right)^'=5\cdot\left(2x\right)=10x.

Näide 4.

Leiame \left(\frac{4}{x}\right)^'.

Et \frac{4}{x}=4\cdot\frac{1}{x}, siis \left(\frac{4}{x}\right)^' = \left(4\cdot\frac{1}{x}\right)^' = 4\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^' = 4\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{4}{x^2}.

3. Funktsioonide vahe tuletis.

Olgu funktsioonid y=f\left(x\right) ja y=g\left(x\right) diferentseeruvad kohal x. Leiame vahe f\left(x\right)-g\left(x\right) diferentseerimise reegli.

Rakendame ees­pool tuletatud reegleid:

\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]^' = \left[f\left(x\right)+\left(−1\right)\cdot g\left(x\right)\right]^' = f′\left(x\right)+\left[\left(-1\right)\cdot g\left(x\right)\right]^' = f′\left(x\right)-g′\left(x\right).

Seega:

funktsioonide vahe tuletis võrdub vastavate funktsioonide tuletiste vahega, s.t
​[f (x) – g (x)]' = f '(x) – g'(x)

Näide 5.

Leiame funktsiooni y=x^2-x tuletise:

\left(x^2-x\right)^'=\left(x^2\right)^'-x′=2x-1.

4. Funktsiooni y=x tuletis.

Leiame kohe jagatise

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{\left(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)}{\Delta x\cdot\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)} = \frac{x+\Delta x-x}{\Delta x\cdot\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}.

Kui \Delta x\to0, siis \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}\to\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Järelikult

(x)'=12x.

Näide 6.

Leiame funktsiooni y=x^{1,5} graafiku puutuja võrrandi punktis, kus x_0=4.

Esitame funktsiooni kujul y=x\cdot x^{0,5} ehk y=x\cdot\sqrt{x}.

Leiame puute­punkti A: kui x_0=4, siis y_0=4\cdot\sqrt{4}=8. Puute­punkt on A(4;\ 8).

Leiame funktsiooni tuletise:

\left(x\sqrt{x}\right)^' = x'\sqrt{x}+x\left(\sqrt{x}\right)^' = \sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = 1,5\sqrt{x}.

Puutuja tõus k=y'\left(4\right)=1,5\cdot\sqrt{4}=3.

Et puutuja kui sirge korral on teada punkt A ja tõus, siis võrrandi leiame kujul y-y_0=k\cdot\left(x-x_0\right). Järelikult puutuja võrrand on y-8=3\cdot\left(x-4\right) ehk y=3x-4.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Vastus. (x3)' = 

Kirjutage veel kord välja x', (x2)' ja (x3)'. Milline võiks olla nende tuletiste ees­kujul (xn)', kui n ∈ N? Kontrollige oletust n = 4 korral, kasutades jälle korrutise tuletise reeglit.

Vastus. (xn)' = 

y′ = 

y=7x
y' = 

y=-3x
y' = 

y=\frac{7}{x}
y' = 

y=3x+6
y' = 

y=2x+10
y' = 

y=-4x+8
y' = 

y=2\left(x+3\right)
y' = 

y=6\left(2x+1\right)
y' = 

y=3\left(x+\frac{1}{x}\right)
y' = 

y' = 

y=4-x^2
y' = 

y=8-x
y' = 

y=10x^2-9
y' = 

y=3x^2-2x+6
y' = 

y=4x^2-6x
y' = 

y=8x-7x^2
y' = 

f\left(x\right)=4x^2-8x+1
f ' (x) = 

Vastus. f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) = 

f\left(x\right)=\frac{1}{x}
f ' (x) = 

Vastus. f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) = 

f\left(x\right)=\frac{8x^3+4}{x}
f ' (x) = 

Vastus. f '(3) = , f '(–2) = , f '(0) = , f '(0,25) = , f '(–0,7) = 

s=t^2+2t.

Vastus. Kiiruse valem v = . Kui t = 10, siis kaugus lähte­punktist on  ja kiirus on .

s=0,5t^2-0,8t

Vastus. Kiiruse valem v = . Kui t = 10, siis kaugus lähte­punktist on  ja kiirus on .

s=80t

Vastus. Kiiruse valem v = . Kui t = 10, siis kaugus lähte­punktist on  ja kiirus on .

  1. x=3

    Vastus. k = , y = 
  2. x=1

    Vastus. k = , y = 
  1. x=0

    Vastus. k = , y = 
  2. x=-1,5

    Vastus. k = , y = 

y=\left(x+3\right)^2
y' = 

y=\left(4-2x\right)^2
y' = 

y=\left(x-1\right)^2
y' = 

y=x^2\sqrt{x}
y' = 

y=2\sqrt{x}-3x^2
y' = 

y=\left(\sqrt{x}+1\right)^2
y' = 

Seotud sisu
Muud tegevused