Kiirus ja kiirendus antud aja­hetkel

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Vaatleme funktsioone, mis kirjeldavad mingi protsessi muutumist sõltuvalt ajast. Mitmete muude faktorite kõrval võib ajast sõltuda näiteks:

  • keha poolt läbitud tee pikkus;
  • tilkuva õli­reservuaari poolt tekitatava õli­laigu pindala;
  • auto vigastatud õhu­kummi ruumala kummi tühjenedes jne.

Nagu nägime peatükis 14.4, väljendab selliste funktsioonide tuletis antud kohal protsessi muutumise hetk­kiirust vastaval aja­hetkel t0:

v\left(t_0\right)=f'\left(t_0\right),

kus f ja v on funktsioonid, mis kirjeldavad vastavalt protsessi muutumist ning selle protsessi muutumise hetk­kiirust sõltuvalt ajast t. Seega, kui keha poolt aja t jooksul läbitud tee­pikkust kirjeldab funktsioon s(t), siis avaldub selle keha kiirus hetkel t seosega:

v (t) = s'(t).

Kui leida siit nüüd v′(t), saame valemi kiiruse muutumise kiiruse ehk kiirenduse a(t) arvutamiseks:

a (t) = v'(t).

Joonestage funktsiooni s\left(t\right) graafik t ja s\left(t\right) teljestikus ning kirjeldage joonise ja järgnevate küsimuste abil keha liikumist sirgel.

  1. Millisel aja­vahemikul keha kaugeneb lähte­punktist, millisel läheneb sellele?
    Vastus. Keha kaugeneb lähte­punktist, kui t ∈  ja läheneb sellele, kui t ∈ .
  2. Millisel aja­hetkel on keha kõige kaugemal lähte­punktist?
    Vastus. Keha on kõige kaugemal lähte­punktist, kui t = .
  3. Mitme sekundi pärast jõuab keha taas lähte­punkti?
    Vastus. Keha jõuab taas lähte­punkti  sekundi pärast.
Kasutatavad mõõt­ühikud
Kasutatavad mõõt­ühikud, kui neid pole eraldi lisatud, on analoogsetes ülesannetes siin ja edas­pidi meeter ning sekund. Samuti säilivad edasises suuruste s(t) ja t tähendused.

Näide 1.

Sirg­jooneliselt liikuva keha asu­koht sirgel on määratud valemiga

s (t) = –0,25t2 + 4t.

Leiame:

  1. valemid selle keha kiiruse ja kiirenduse arvutamiseks suvalisel hetkel;
  2. keha kiiruse ja kiirenduse hetkel t0 = 2;
  3. mitme sekundi pärast jääb keha seisma.

Leiame esmalt valemid kiiruse ja kiirenduse arvutamiseks suvalisel hetkel:

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-0,5t+4,
a\left(t\right)=v'\left(t\right)=-0,5.​

Arvutame nüüd kiiruse hetkel t_0=2.

v\left(2\right)=-0,5\cdot2+4=3\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).

Keha kiirendus on konstantne, olles hetkel t_0=2 -0,5\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}.

Hetkel, mil keha jääb seisma, on tema kiirus null. Seega lahendades võrrandi

-0,5t+4=0.

saame vastuse ka viimasele küsimusele: keha jääb seisma 8 sekundi möödudes.

Joonestame nüüd arvutil (näiteks programmiga GeoGebra) mõlema saadud funktsiooni graafikud ühes ja samas teljestikus. Olgu horisontaal­teljel aeg ja vertikaal­teljel kas keha kaugus lähte­punktist või siis kiirus (joonis 3.18).

Joon. 3.18

Graafikutelt võime lugeda järgmist:

  • kaheksa esimest sekundit keha kaugeneb lähte­punktist (kaugus lähte­punktist kasvab);
  • kaheksandal sekundil on keha lähte­punktist kõige kaugemal (16 m) ja jääb hetkeks seisma;
  • see­järel hakkab keha taas lähte­punktile lähenema ja jõuab sinna kuue­teist­kümnendal sekundil;
  • keha kiirus on liikumise alg­hetkel 4\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. Edasi kiirus kahaneb kuni keha seisma jäämiseni kaheksandal sekundil. See­järel omab kiirus negatiivseid väärtusi. See tähendab, et keha liigub kaugust kirjeldava teljega vastas­suunaliselt.

Näide 2.

Sirg­jooneliselt liikuva keha asu­koht sirgel on määratud valemiga

s\left(t\right)=-\frac{t^3}{3}+2t^2-4.

Leiame selle keha liikumise kiiruse hetkel, kui tema kiirendus on null.

Leiame valemid keha kiiruse ja kiirenduse arvutamiseks.

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-t^2+4t ja
a\left(t\right)=v'\left(t\right)=\left(-t^2+4t\right)^'=-2t+4.​

Leiame aja­hetke, millal keha kiirust on vaja arvutada.

Võrrandist -2t+4=0 saame, et kiirus tuleb leida hetkel t_0=2. Seega

v\left(t_0\right)=v\left(2\right)=-2^2+4\cdot2=4\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).

Vastus. Aja­hetkel, mil antud keha kiirendus on null, on tema kiirus 4\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Leidke

  1. liikumise kiirus hetkel t_1=3 ja t_2=5,6.
    Vastus. Kui t_1=3, siis v =  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} ja kui t_2=5,6, siis v =  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
  2. kiirendus mõlemal nimetatud aja­hetkel.
    Vastus. Kui t_1=3, siis a =  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} ja kui t_2=5,6, siis a =  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.
  • Leidke punkti kiirus ja kiirendus hetkel t = 5.
    Vastus. v (5) =  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}, a (5) =  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.
  • Millisel hetkel on punkti liikumise kiirendus null?
    Vastus. Liikumise kiirendus on null, kui t =  sekundit.
  • Joonestage arvutil funktsioonide s (t) ja v (t) graafikud ning kirjeldage nende abil punkti liikumist esimese nelja sekundi jooksul (kaugus lähte­punktist, kiiruse ja kiirenduse muutumine).
  • Leidke punkti liikumise hetk­kiirus ja kiirendus liikumise teise sekundi lõpul.
    Vastus. Teise sekundi lõpul on punkti liikumise hetk­kiirus  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} ja kiirendus  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.
  • Mitmenda sekundi lõpul jääb punkt seisma?
    Vastus. Punkt jääb seisma  sekundi lõpul.
  • Joonestage arvutil funktsioonide s (t) ja v (t) graafikud ning kirjeldage nende abil punkti liikumist esimese nelja sekundi jooksul (kaugus lähte­punktist, kiiruse ja kiirenduse muutumine).

Leidke

  1. mitmendal sekundil põrkub pakk maaga.
    Vastus. Pakk põrkub maaga  sekundil.
  2. paki kukkumise kiirus ja kiirendus langemise 4. sekundi lõpul.
    Vastus. 4. sekundi lõpul on paki kukkumise kiirus  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} ja kiirendus  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}.
  3. aja­hetk, millal pakk põrkub maaga.
    Vastus. Aja­hetk, millal pakk põrkub maaga on  s.
  • Kui sügav on kraater, kui kivi langes kraatri põhja 10 sekundiga?
    Vastus. Kraatri sügavus on  meetrit.
  • Kui suur on kivi liikumise kiirus põhja jõudmise hetkel?
    Vastus. Kivi liikumise kiirus põhja jõudmise hetkel on  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
  • Kui suur oli bakterite lähte­arv bio­massis?
    Vastus. Bakterite lähte­arv bio­massis oli .
  • Kui suur on bakterite juurde­kasv aja­momendil t = 3,5 min?
    Vastus. Bakterite juurde­kasv aja­momendil t = 3,5 min, oli  bakterit minutis.
  1. Kui kõrgelt pall visati?
    Vastus. Pall visati  m kõrguselt.
  2. Kui suur oli palli liikumise alg­kiirus?
    Vastus. Palli liikumise alg­kiirus oli  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
  3. Kas pall visati üles või alla?
    Vastus. Pall visati .
  4. Mitu sekundit pärast viset asus pall maa­pinnast kõige kõrgemal ja kui kõrgel?
    Vastus. Pall asus maa­pinnast kõige kõrgemal  sekundi pärast ja siis oli pall  m kõrgusel.
  5. Mitu sekundit pärast viset kukkus pall maha?
    Vastus. Pall kukkus maha  sekundit pärast viset.
  6. Kui suur oli palli kiirus maha­kukkumise hetkel?
    Vastus. Maha­kukkumise hetkel oli palli kiirus  \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Vastus. Esimese punkti kiirus on teise omast suurem, kui t ∈ .

Seotud sisu
Muud tegevused