Joone puutuja tõus

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Vastav kõver on funktsiooni y=-\frac{1}{6}x^3+x graafik.

Joon. 3.19
  1. Kui suur on tõus vaadeldava lõigu punktides A, B, C, D ja E?
  1. Mitmendal meetril alates punktist A on mägedes vaadeldaval lõigul kõrgeim punkt? Millega on võrdne graafiku puutuja tõus selles punktis?
  2. Milliste x väärtuste korral on Teie arvates tõus (langus) suurim? Leidke tõusud nendes punktides.

Et vastata ülesandes 571 esitatud küsimustele, peaksime leidma joonisel oleva graafiku puutujad punktides A, B, C, D ja E ning võrdlema nende tõuse. Kõige lihtsam on seda teha arvutil, joonestades graafikule selle suvalises punktis puutuja ning uurides see­järel puutuja asendi muutumist lohistades punkti A mööda graafikut.

Joon. 3.20
  1. Kirjeldage graafiku puutuja asendit (tõusev, langev sirge?), kui puutuja on joonestatud kohal, mis on funktsiooni
    1. kasvamis­vahemikus;
    2. kahanemis­vahemikus;
    3. ekstreemum­koht.
  2. Mitmendasse veerandisse kuulub puutuja ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk ja mis märgiga on tangens sellest nurgast, kui puutuja on joonestatud kohal, mis on funktsiooni
    1. kasvamis­vahemikus;
    2. kahanemis­vahemikus;
    3. ekstreemum­koht?

Oluliselt täpsemad vastused ülesannetes 571 ja 572 esitatud küsimustele annab nende ülesannete algebraline lahendamine.

Joon. 3.21

Nagu nägime, saab funktsiooni graafiku puutuja kohta olevat teavet edukalt kasutada funktsiooni uurimisel, s.o tema kasvamis- ja kahanemis­vahemike, ekstreemum­kohtade jne leidmisel. Puutujat ennast aga, nagu iga mitte­vertikaalset sirget, ise­loomustab selle tõus k ja alg­ordinaat b (joonis 3.21). Puutuja tõusu kasutamist funktsioonide uurimisel me järgnevas vaatlemegi.

Joon. 3.22

Meenutame, et kohal x0 diferentseeruva funktsiooni graafikule samal kohal joonestatud puutuja tõus (joonis 3.22)

k = tan α = f '(x0).

Näide 1.

Leiame parabooli y=4x-x^2 puutuja tõusu kohal x_0=1.

Leiame esmalt funktsiooni y=4x-x^2 tuletise:

y'=4-2x.

Arvutame see­järel tuletise väärtuse kohal x_0=1, mis ongi otsitud puutuja tõus.

k=y'\left(1\right)=4-2\cdot1=2.

Vastus. Funktsiooni graafikule kohal x_0=1 joonestatud puutuja tõus on 2.

Näide 2.

Leiame muutuja x väärtused, mille korral funktsiooni y=\frac{1}{3}x^3 graafiku puutuja tõusu­nurk on 45°.

Et \tan45°=1, siis tuleb antud ülesande lahendamiseks leida x-i need väärtused, mille korral funktsiooni y=\frac{1}{3}x^3 graafiku puutuja tõus on 1. Seega tuleb leida lahend võrrandile y'=1.

Et

y'=x^2, siis x^2=1,

millest x=\pm1.

Vastus. Funktsiooni y=\frac{1}{3}x^3 graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga, kui puutuja on joonestatud kas kohal x_1=1 või kohal x_2=-1.

Näide 3.

Leiame muutuja x need väärtused, mille korral funktsiooni y=2x^3+5x^2-4x graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nüri­nurga.

Muutuja x nõutud väärtuste korral peab puutuja tõus ehk f'\left(x\right) olema negatiivne. Seega lahendada tuleb võrratus y'<0.

Et y'=6x^2+10x-4, siis lahendame võrratuse

6x^2+10x-4<0.

Leiame ruut­kolm­liikme 6x^2+10x-4 null­kohad x_1=-2 ja x_2=\frac{1}{3} ning skitseerime funktsiooni

y'=6x^2+10x-4 graafiku (joonis 3.23).

Graafikult näeme, et y' on negatiivne vahemikus \left(-2;\ \frac{1}{3}\right).

Joon 3.23

Vastus. Funktsiooni y=2x^3+5x^2-4x graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nüri­nurga vahemikus \left(-2;\ \frac{1}{3}\right).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

  1. negatiivne;
  2. null;
  3. positiivne.

Milline on igal nimetatud juhul sirge tõusu­nurk?

y=x^2+2x+1, x_0=0,5

Vastus. k = 

y=2x^2-3x+1, x_0=2

Vastus. k = 

y=xe^x, x_0=0

Vastus. k = 

y=x^2\ln x, x_0=e

Vastus. k = 

y=\frac{x}{2x+1}, x_0=-2

Vastus. k = 

y=\frac{x^2+1}{x}, x_0=-1

Vastus. k = 

y=e^x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui x = .

y=x\ln x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui x = .

y=-\frac{1}{x}

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui x =  või x = .

y=x-4

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui .

y=3x^3-16x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=x^3-3x^2

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=2x^3-30x^2+126x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=4x^3-21x^2+18x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=x^3-2x^2+4x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui .

y=\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui .

y=x^2+x+1

Vastus. Parabooli hari­punkti abstsiss on .

y=3x^2-2x+4

Vastus. Parabooli hari­punkti abstsiss on .

y=-3x^2+6x-2

Vastus. Parabooli hari­punkti abstsiss on .

y=-x^3+15x^2-75x-3

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x^3-6x^2+45x+3

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x^3+6x^2-15x+6

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x^3-9x^2+24x-3

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

Vastav kõver on funktsiooni y=-\frac{1}{6}x^3+x graafik. Vastake küsimustele tuletise abil.

Joon. 3.19
  1. Kui suur on tõus vaadeldava lõigu punktides A, B, C, D ja E?
    Vastus. Punktis A on tõus , punktis B , punktis C , punktis D  ja punktis E .
  1. Mitmendal meetril alates punktist A on mägedes vaadeldaval lõigul kõrgeim punkt? Millega on võrdne graafiku puutuja tõus selles punktis?
    Vastus. Vaadeldaval lõigul on mägedes kõrgeim punkt  m kaugusel punktist A. Selles punktis on graafiku puutuja tõus .
  2. Milliste x väärtuste korral on Teie arvates tõus (langus) suurim? Leidke tõusud nendes punktides.
Seotud sisu
Muud tegevused