Ekstreemumi liik ja funktsiooni teine tuletis

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Olgu funktsioon y=f\left(x\right) kohal x0 diferentseeruv ja olgu tal seal ekstreemum, s.t f'\left(x_0\right)=0. Uurime nüüd, kuidas saab tuletise abil selgitada, kas kohal x0 on funktsioonil maksimum või miinimum. Ühte sellist võimalust me juba teame:

kui funktsiooni tuletis on enne ekstreemum­kohta positiivne, pärast aga negatiivne, siis on tegemist maksimumiga; kui vastu­pidi, siis miinimumiga.

Seda meetodit on aga võimalik oluliselt lihtsustada, kui kasutada funktsiooni teist tuletist.

Teame, et funktsiooni y=f\left(x\right) tuletis on ka ise mingi funktsioon, nn tuletis­funktsioon g\left(x\right), s.t g\left(x\right)=f′\left(x\right). Ka sellel uuel funktsioonil võib olla tuletis g'\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^'. Viimast nimetatakse funktsiooni y=f\left(x\right) teiseks tuletiseks ja tähistatakse sümboliga y'' või f''\left(x\right). Seega

f′′\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^' ehk y′′=\left(y′\right)′.

Uurime konkreetsete näidete najal, kuidas kasutada funktsiooni teist tuletist ekstreemumi liigi määramisel.

  1. Leidke funktsiooni f (x) ekstreemum­kohad ning funktsiooni g (x) kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.
    Vastus. f (x) korral xmax =  ja xmin = . g (x) korral X\uparrow =  ja X\downarrow = .
  2. Leidke jooniselt, millisesse saadud vahemikest kuulub funktsiooni f (x) maksimum-, millisesse miinimum­koht.
    Vastus. Funktsiooni f (x) maksimum­koht kuulub tuletis­funktsiooni g (x) vahemikku ja miinimum­koht funktsiooni g (x) vahemikku.

Uurige sama probleemi funktsiooni f (x) = –x3 + 2x2 + x – 2 korral (joon 3.32).

Joon. 3.31
Joon. 3.32

Ülesandes 607 näeme, et funktsiooni f\left(x\right) maksimum­koht kuulub tuletis­funktsiooni g\left(x\right) kahanemis­vahemikku, miinimum­koht aga kasvamis­vahemikku. Saab näidata, et see tulemus on üld­kehtiv. See tähendab, et funktsiooni f\left(x\right) maksimum­kohal kehtib võrratus g'\left(x\right)\le0 ja miinimum­kohal võrratus g'\left(x\right)\ge0.

Kasutades funktsiooni teise tuletise mõistet, võime eelneva kokku võtta järgmiselt:

kui kohal x0 kaks korda diferentseeruval funktsioonil y = f (x) on sellel kohal maksimum (miinimum), siis f ''(x0) ≤ 0 (f ''(x0) ≥ 0).

Küsime nüüd, kas kehtivad ka esitatud väidete pöörd­väited, s.t kas alati, kui f''\left(x_0\right)\ge0 \left(f''\left(x_0\right)\le0\right), on funktsioonil f\left(x\right) kohal x0 miinimum (maksimum)? Selgub, et pöörd­väited kehtivad vaid rangete võrratuste korral. See tähendab, et leidub ka olu­kordi, kus funktsiooni teise tuletise võrdumine nulliga mingil kohal ei tähenda veel ekstreemumi olemas­olu sellel kohal. Joonestage näiteks funktsiooni y=x^3 graafik ning uurige funktsiooni esimest ja teist tuletist kohal x=0. Kas aga sellel kohal on ekstreemum?

Seega,

kui f '(x0) = 0 ja f ''(x0) < 0, siis on x0 funktsiooni y = f (x) maksimum­koht;

kui f '(x0) = 0 ja f ''(x0) > 0, siis on x0 funktsiooni y = f (x) miinimum­koht.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=x-\ln x ekstreemumi ja määrame selle liigi.

Lahendame esmalt võrrandi y'=0. Et y'=1-\frac{1}{x}, siis saame võrrandi 1-\frac{1}{x}=0, millest x=1.

Seega võib vaadeldava funktsiooni ekstreemum olla kohal x=1. Leiame y′′\left(1\right). Et y''=\frac{1}{x^2}, siis y''\left(1\right)=1. Kuna y''\left(1\right)>0, siis on antud funktsioonil kohal x=1 miinimum.

Lõpuks leiame funktsiooni y=x-\ln x miinimumi, s.o funktsiooni väärtuse miinimum­kohal.

y\left(1\right)=1-\ln1=1.

Vastus. Funktsioonil y=x-\ln x on kohal x=1 miinimum y=1.

Näide 2.

Leiame funktsiooni y=x^3+3x^2-9x+1 kasvamis- ja kahanemis­vahemikud, ekstreemum­punktid ning skitseerime funktsiooni graafiku.

Võimalike ekstreemum­kohtade leidmiseks lahendame võrrandi y'=0. Et

y'=3x^2+6x-9,

siis võrrandist 3x^2+6x-9=0 saame x_1=-3 ja x_2=1.

Leiame funktsiooni teise tuletise.

y''=6x+6.

Et y''\left(-3\right)<0 ja y''\left(1\right)>0, siis on vaadeldaval funktsioonil kohal x_1=-3 maksimum ja kohal x_2=1 miinimum.

Arvutame nüüd funktsiooni väärtused ekstreemum­kohtadel:

y\left(-3\right)=-27+27+27+1=28 ja y\left(1\right)=1+3-9+1=-4.

Seega funktsiooni graafiku ekstreemum­punktid on (–3; 28) ja (1; –4).

Kasvamis­vahemike leidmiseks lahendame võrratuse 3x^2+6x-9>0. Saame X_1\uparrow=\left(-∞;\ -3\right) ja X_2\uparrow=\left(1;\ ∞\right).

Kahanemis­vahemiku leiame võrratusest 3x^2+6x-9<0. Saame X\downarrow=\left(-3;\ 1\right).

Funktsiooni graafiku skitseerimiseks kanname koordinaat­teljestikku ekstreemum­punktid ning funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud (joonis 3.33a).

Joon. 3.33

Et selgitada, mitmes kohas antud funktsiooni graafik lõikab x-telge, uurime, millele lähenevad funktsiooni väärtused, kui x→\pm∞. Tuues avaldisest x^3+3x^2-9x+1 muutuja kõrgema astme sulgude ette, saame, et

y=x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right).

Paneme nüüd tähele, et kui x→\pm∞, siis sulgudesse jäävate murdude väärtused lähenevad nullile, mis­tõttu y→\pm∞.

Siit näeme, et funktsioonil y=x^3+3x^2-9x+1 on null­kohad ka vahemikes \left(−∞;\ -3\right) ja \left(1;\ ∞\right). Seega võime otsitava graafiku skitseerida joonisel 3.33b näidatud kujul.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

y=3x+2
y'' = 

y=-x+5
y'' = 

y=2x^3-4x^2+7
y'' = 

y=-5x^3+2x-3
y'' = 

y=\frac{2}{x^2}+x
y'' = 

y=\frac{3}{x^3}-x^2
y'' = 

y=2\ln x+3e^x
y'' = 

y=e\cdot e^x-3\ln x
y'' = 

y=\left(x+1\right)e^x
y'' = 

y=x^2\ln x
y'' = 

y=\frac{\ln x}{x}
y'' = 

y=\frac{e^x}{x}
y'' = 

s\left(t\right)=t^2-3t+2 ja t_0=3.

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis  ja kiirendus .

s\left(t\right)=10t^2+3t-5 ja t_0=5.

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis  ja kiirendus .

s\left(t\right)=t^3+10t^2+5t-2 ja t_0=2.

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis  ja kiirendus .

s\left(t\right)=-2t^3+3t^2+125 ja t_0=6

Vastus. Keha liikumise kiirus on siis  ja kiirendus .

y=x^2+x+1

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=2x-2x^2

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=x^3+3x^2+3x+1

Vastus. Funktsiooni miinimum­koht  ja maksimum­koht .

y=\left(1-x\right)^3

Vastus. Funktsiooni miinimum­koht  ja maksimum­koht .

y=x^2-2\ln x

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=3\ln x-x^3

Vastus. Funktsiooni koht on .

y=x^3-3x^2-5

Vastus. Funktsioon maksimum­punkt on  ja miinimum­punkt on .

y=2x^3-6x^2-18x+7

Vastus. Funktsioon maksimum­punkt on  ja miinimum­punkt on .

y=x\left(1-x^2\right)

Vastus. Funktsioon maksimum­punkt on  ja miinimum­punkt on .

y=x^3-6x^2+9x-3

Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^3-12x+3

Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=x^4-4x+8

Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt . X\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=-x^4+32x+4

Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt  ja maksimum­punkt on . X\uparrow = , X\downarrow = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

y=9-9x-6x^2-x^3

Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Sellel funktsioonil on  null­koht.

y=1+12x+3x^2-2x^3

Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Sellel funktsioonil on  null­kohta.

  • Leidke funktsiooni ekstreemum­punktid, kasvamis- ja kahanemis­vahemikud ning skitseerige funktsiooni graafik.
    Vastus. Funktsiooni miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on . X\uparrow = , X\downarrow = .
  • Millist informatsiooni tootmis­kulude kohta saame graafikult?
  1. Millises aja­vahemikus punkt A kaugeneb lähte­punktist, millises läheneb sellele?
    Vastus. Punkt A kaugeneb lähte­punktist  sekundil ja  sekundil ning läheneb  sekundil.
  2. Millisel aja­hetkel aja­vahemikus (0,5; 2,2) sekundit saavutab punkt maksimaalse, millisel minimaalse kauguse lähte­punktist? Arvutage need kaugused. Milline on punkti kiirus nendel aja­hetkedel?
    Vastus. Maksimaalse kauguse saavutab punkt  sekundil, mil kaugus on  m ja kiirus on  \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}. Minimaalse kauguse saavutab punkt  sekundil, mil kaugus 0n  m ja kiirus on  \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}}.
  3. Millises aja­vahemikus on punkti kiirus negatiivne? Mida kiiruse negatiivsus selles vahemikus sisuliselt tähendab?
    Vastus. Punkti kiirus on negatiivne, kui t ∈  sekundit. Kiiruse negatiivsus selles vahemikus tähendab, et .
  1. Kui kaugel lähte­kohast on punkt A esimese sekundi lõpul?
    Vastus. Punkt on siis lähte­kohast  cm kaugusel.
  2. Millisest hetkest alates hakkab vaadeldav punkt taas lähenema lähte­punktile? Kui suur on sellel hetkel punkti kiirus ja kaugus lähte­punktist?
    Vastus. Vaadeldav punkt hakkab lähenema lähte­punktile alates  sekundist, mil punkti kiirus on  \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} ja kaugus lähte­punktist on  cm.
  3. Millise minimaalse kauguse lähte­punktist ja mis hetkel saavutab punkt A aja­vahemikul (2; 7)?
    Vastus. Sel aja­vahemikul on minimaalne kaugus  cm  sekundil.
  4. Millistes aja­vahemikes punkt A kaugeneb lähte­punktist, millistes läheneb?
    Vastus. Punkt kaugeneb lähte­punktist, kui t ∈  ja t ∈  ning läheneb, kui t ∈ .
  5. Millistel hetkedel on punkti liikumise kiirus 0\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}?
    Vastus. Kui t =  s ja t =  s.
  6. Millises aja­vahemikus punkti kiirus väheneb, millises suureneb?
    Vastus. Punkti kiirus väheneb, kui t ∈  ja suureneb, kui t ∈ .
  7. Millises aja­vahemikus on punkti kiirus negatiivne? Mida tähendab sisuliselt negatiivne kiirus?
    Vastus. Punkti kiirus on negatiivne, kui t ∈ . Negatiivne kiirus tähendab, et .
Seotud sisu
Muud tegevused