Funktsiooni ekstreemumid

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Tähistame aia pikkuse ja pindala vastavalt tähtedega x ja y (joonis 3.28). Et aia laius on 100 – x, siis avaldub aia pindala y muutuja x funktsioonina järgmiselt: y = x(100 – x).

Joon. 3.28

Seega taandub antud ülesanne argumendi nende väärtuste leidmisele, mille korral vaadeldaval funktsioonil on maksimaalne väärtus. Kuidas neid leida?

NB!

Ekstreemum on ühine nimetus maksimumile ja miinimumile.

Ekstreemum ye on funktsiooni väärtus.

Ekstreemum­koht xe on argumendi väärtus.

Ekstreemum­punkt on punkt, mille koordinaadid on ekstreemum­koht ja ekstreemum.

Jooniselt 3.29 (a ja b) näeme, et kui diferentseeruval funktsioonil on kohal x0 maksimum või miinimum, siis on tema graafiku puutuja sellel kohal paralleelne x-teljega, s.t f′\left(x_0\right)=0. Samas selgub, et tuletis võib olla võrdne nulliga ka kohal, kus funktsioonil pole ekstreemumit (joonis 3.29c).

Seega

funktsioonil y = f (x) võib ekstreemum olla kohal, kus tema tuletis on võrdne nulliga.

Joon. 3.29

Veel näeme samalt jooniselt (d ja e), et

funktsioonil y = f (x) võib ekstreemum olla ka kohal, kus tal tuletis puudub.

Milline tingimus peab aga olema täidetud, et tuletise null­koht või argumendi see väärtus, kus tuletis puudub, oleks funktsiooni ekstreemum­koht? Jooniselt 3.29 (a, b, d ja e) nähtub, et kohal, kus funktsioonil on ekstreemum, läheb kasvamine üle kahanemiseks või kahanemine üle kasvamiseks, s.t funktsiooni tuletis muudab ekstreemum­kohal märki.

Seega tuleb funktsiooni y = f (x) ekstreemum­kohtade leidmiseks välja selgitada funktsiooni tuletise null­kohad ja kohad, kus tuletis puudub. Kui leitud kohal funktsiooni tuletis muudab märki, siis on tegemist ekstreemum­kohaga.

Kui kasvamine läheb leitud kohal üle kahanemiseks, on antud koht maksimum­koht, vastasel juhul aga miinimum­koht. Kui leitud kohal tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil pole sellel kohal ekstreemumit.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=x^3+6x^2-15x+1 ekstreemumid.

Leiame esmalt funktsiooni kõik ekstreemum­kohad vahemikust (–∞; ∞). Et vaadeldav funktsioon on selles vahemikus diferentseeruv, siis võivad tema ekstreemumid olla vaid tuletise null­kohtades.

Võrrandist \left(x^3+6x^2-15x+1\right)^'=0 saame, et x^2+4x-5=0 ja x_1=-5 ning x_2=1.

Joon. 3.30

Skitseerides tuletise märgi muutused joonisel (joonis 3.30), näeme, et kohal x_1=-5 läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks ning kohal x_2=1 kahanemine üle kasvamiseks. Seega on funktsioonil y=x^3+6x^2-15x+1 kohal x_1=-5 maksimum ja kohal x_2=1 miinimum.

Lõpuks leiame funktsiooni ekstreemumid, s.o y\left(-5\right) ja y\left(1\right):

y\left(-5\right) = \left(-5\right)^3+6\cdot\left(-5\right)^2-15\cdot\left(-5\right)+1 = 101,
y\left(1\right) = 1^3+6\cdot1^2-15\cdot1+1 = -7​.

Vastus. Funktsioonil y=x^3+6x^2-15x+1 on kohal x_1=-5 maksimum y_1=101 ja kohal x_2=1 miinimum y_2=-7.

Näide 2.

Lahendame lõpuni ülesande 598.

Antud juhul otsime ekstreemum­kohta funktsiooni y=x\left(100-x\right) tuletise null­kohtades. Selleks lahendame võrrandi y′=0.

Võrrandist

\left(100x-x^2\right)^'=0 saame, et 100-2x=0 ja x=50.

Et funktsioon y=x\left(100-x\right) on x<50 korral kasvav (y′>0) ja x>50 korral kahanev (y′<0), siis on tal sellel kohal maksimum. Siit näemegi, et vaadeldaval funktsioonil on kohal x=50 maksimum.

Vastus. Aed tuleb teha ruudu­kujuline 50 m pikkuse küljega.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

y=2x^2-5x-12

Vastus. punkt on .

y=-3x^2+x-5

Vastus. punkt on .

y=x^3-5x^2+3x-5

Vastus. Miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on .

y=2x^3-15x^2+36x-24

Vastus. Miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on .

y=x^4-2x^2-5

Vastus. Miinimum­punktid on  ja  ning maksimum­punkt on .

y=x^5-5x^4+5x^3+1

Vastus. Miinimum­punkt on  ja maksimum­punkt on .

Vastus. Siis tuleks sõita kiirusega  \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.

Vastus. Nakkus saavutab maksimumi  öö­päeval. Sellel päeval on haigestunud % elanikest.

Nõudlus teatud toote järele muutub vastavalt seadusele N\left(t\right)=100+5t^2-\frac{t^3}{3}, kus N (t) on toodet nõudvate inimeste arv t-ndal päeval.

Mitmendal päeval on nõudlus selle toote järele suurim ja kui suur see siis on?

Vastus. Nõudlus selle toote järele on suurim  päeval, mil see on .

Punkt liigub mööda sirget vastavalt seadusele s\left(t\right)=12t^2-\frac{2}{3}t^3 (mõõt­ühikud on meeter ja sekund), kus 4 ≤ t ≤ 10.

  • Leidke hetk, millal selle punkti liikumise kiirus on suurim.
    Vastus. Punkti liikumise kiirus on suurim, kui t = .
  • Võrrelge saadud kiirust punkti kiirustega aja­hetketel t = 4 ja t = 10. Milline neist kolmest on suurim?

y = ln x, x > 0

y=x^2+\ln x

Vastus. Miinimum­punkt  ja maksimum­punkt .

y=x^3+6\ln x

Vastus. Miinimum­punkt  ja maksimum­punkt .

y=x^2e^x

Vastus. Miinimum­punkt on ja maksimum­punkt on .

y=x^2\ln x

Vastus. Miinimum­punkt on ja maksimum­punkt .

Vastus. a = 

Vastus. a ∈ 

Seotud sisu
Muud tegevused