Ekstreemum­ülesanded

Näide 1.

Kaupluse seinale kavatsetakse riputada kolmest servast valgustitega ümbritsetav reklaam­tahvel (joonis 3.37). Pere­mehel on ostetud 4 meetrit valgus­juhet. Milliste mõõtmetega tuleb reklaami alus valmistada, kui tahetakse, et reklaam­tahvli pindala oleks võimalikult suur?

Joon. 3.37

Koostame esmalt valemi funktsioonile, mille ekstreemum­kohta soovime leida. Olgu reklaami aluse laius x meetrit, kõrgus on sel juhul 4 – 2x meetrit ja pindala

S\left(x\right)=x\left(4-2x\right)=4x-2x^2.

Leiame nüüd piir­konna, kust ekstreemum­kohti otsida.

Vastavalt ülesande tingimustele on x>0 ja ​4-2x>0. Teisest võrratusest saame, et x<2. Seega x\in\left(0;\ 2\right).

Funktsiooni ekstreemum­koha leidmiseks arvutame funktsiooni esimese ja teise tuletise ning lahendame võrrandi S\ '\left(x\right)=0:

S\ '\left(x\right)=4-4x ja S\ ''\left(x\right)=-4.

Võrrandist 4-4x=0 saame, et ekstreemum võib olla kohal x=1. Et S\ ''\left(1\right)=-4<0, siis on antud kohal tõesti funktsiooni maksimum.

Lõpuks leiame otsitava rist­küliku teise külje pikkuse: 4 – 2 ⋅ 1 = 2 (m).

Vastus. Reklaami alus tuleks valmistada 1 meetri laiune ja 2 meetri kõrgune.

Näide 2.

Kokku­ostja kavatses turul päevas müüa vähemalt 20 kg kuke­seeni hinnaga 12 eurot kilo­gramm. Sellisel juhul jäänuks talle töö­tasuks 2 eurot iga müüdud kilo­grammi kuke­seente eest. Hiljem arvas ta aga, et iga 10-sendine kilo­hinna alandus tõstab päevast läbi­müüki 2 kilo­grammi võrra. Millise hinnaga tuleks kokku­ostjal kuke­seeni müüa, et selle töö eest saadav tasu oleks maksimaalne? Oletame, et kokku­ostja arvamus läbi­müügi kasvu kohta vastab tõele.

Koostame valemi funktsioonile, mille ekstreemum­kohta me hakkame otsima. Leida tuleb seos töö­tasu T (x) ja hinna­alanduse vahel. Olgu hinna­alandus x korda 10 senti, s.o 0,1x eurot. Sellisel juhul jääb müüjale töö­tasuks iga müüdud kilo­grammi eest 2 – 0,1x eurot. Päevane läbi­müük suureneb samas aga 2x kilo­grammi võrra, olles 20 + 2x kilo­grammi.

Sellise läbi­müügi eest saadav tasu T (x) on seega arvutatav valemiga

T\left(x\right)=\left(2-0,1x\right)\left(20+2x\right).

Leiame esmalt piir­konna, kust tuleb ekstreemum­kohta otsida.

Vastavalt ülesande tingimustele saame, et x\ge0 ja 2-0,1x\ge0, millest näeme, et x\in\left[0;\ 20\right].

Seega otsitav on funktsiooni suurim väärtus lõigul \left[0;\ 20\right].

Leiame selleks funktsiooni T (x) kõik võimalikud ekstreemum­kohad.

T\left(x\right)=40+2x-0,2x^2, T\ '\left(x\right)=2-0,4x ja T\ ''\left(x\right)=-0,4.

Võrrandist 2-0,4x=0 saame, et uuritava funktsiooni ekstreemum võib olla kohal x = 5.

Et T\ ''\left(5\right)=-0,4<0, siis on antud kohal funktsiooni maksimum.

Ekstreemumid võivad aga olla veel ka lõigu \left[0;\ 20\right] ots­punktides.

Leiame funktsiooni väärtused kõigis võimalikes ekstreemum­kohtades ja võrdleme neid.

T\left(5\right)=45; T\left(0\right)=40 ja T\left(20\right)=0.

Siit näeme, et funktsioonil T (x) on lõigus [0; 20] maksimum kohal x = 5.

Seega tuleks kuke­seeni müüa hinnaga 12 – 5 ⋅ 0,1 = 11,5 eurot kilo­gramm.

Vastus. Kuke­seeni tuleks müüa hinnaga 11,5 eurot kilo­gramm.

Näide 3.

Koonuse­kujulise pokaali moodustaja on 12 cm (joonis 3.38). Milline tuleks valida koonuse kõrgus, et pokaali ruumala oleks maksimaalne?

Joon. 3.38

Koostame valemi funktsioonile, mille ekstreemum­kohta me hakkame otsima. Avaldame selleks koonuse ruumala V (x) tema kõrguse x kaudu.

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2x.

Muutujast r vabanemiseks selles võrduses kasutame seost r^2+x^2=12^2. Et r^2=144-x^2, siis saame V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi\left(144-x^2\right)\cdot x, millest V\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}x-\frac{\pi}{3}x^3.

Leiame piir­konna, kust tuleb ekstreemum­kohta otsida. Ülesande tingimustele vastavalt saame, et x\in\left(0;\ 12\right). Argumendi väärtused 0 ja 12 ei tule arvesse. Miks?

Funktsiooni ekstreemum­koha leidmiseks arvutame funktsiooni esimese ja teise tuletise ning lahendame võrrandi V\ ′\left(x\right)=0:

V\ '\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}-\pi x^2 ja V\ ''\left(x\right)=-2\pi x.

Võrrandist \frac{144\pi}{3}-\pi x^2=0 saame, et vaadeldava funktsiooni ekstreemum võib olla kohal x=4\sqrt{3}.

Et V\ ''\left(4\sqrt{3}\right)=-8\pi\sqrt{3}<0, siis ongi antud koht funktsiooni maksimum­koht.

Vastus. Koonuse kõrguseks tuleks valida 4\sqrt{3}\approx6,9\ \left(\mathrm{cm}\right).