Binoom­jaotus

Vaatleme veel üht sagedamini esinevat jaotust.

Näide 1.

Olgu sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu tulek täringu viskamisel.

Iga vise on sisuliselt katse. Tõenäosus p(A) on igal katsel sama, p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. Seega on katsed sõltumatud. Viskame täringut n = 10 korda järjest. Mitu korda sündmus A nende n katse korral esile tuli, sõltub juhusest. See­tõttu loemegi sündmuse A esinemiste arvu 10-st viskest koosnevas viske­seerias juhuslikuks suuruseks X, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, …, 10. Nii defineeritud juhuslik suurus X on nn binoom­jaotusega.

Üldiselt defineeritakse binoom­jaotus järgmiselt:

binoom­jaotuseks nimetatakse juhusliku suuruse X jaotust, kui juhuslikuks suuruseks on sündmuse A esinemiste arv n sõltumatust katsest koosnevas katse­seerias.

Juhusliku suuruse X võimalikud väärtused on 0, 1, 2, …, n. Leiame neile vastavad tõenäosused. Selleks tuletame tõenäosus­funktsiooni, mis võimaldab arvutada tõenäosust, et sündmus A toimub n katse korral k korda. Vastav sümbol on Pn(X = k) või Pn, k(A).

Kui P(A) = p, siis P\left(\overline{A}\right)=1-p=q. Oletame, et n katse korral esineb sündmus A k korda järjest ja üle­jäänud n – k katsetel, toimub sündmus \overline{A} (joon. 1.34).

Joon. 1.34

Seega toimub sündmus A\cdot A\cdot...\cdot A\cdot\overline{A}\cdot\overline{A}\cdot...\cdot\overline{A}, mille tõenäosus P\left(A\cdot A\cdot...\cdot A\cdot\overline{A}\cdot\overline{A}\cdot...\cdot\overline{A}\right) = P\left(A\right)\cdot P\left(A\right)\cdot...\cdot P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{A}\right)\cdot...\cdot P\left(\overline{A}\right) = p^k\cdot q^{n-k}, sest katsed on sõltumatud. Sama­sugune​​ oleks otsitav tõenäosus ka siis, kui sündmused A ja \overline{A} toimuvad teises järje­korras, kuid sündmus A esineb n katse korral ikka k korda. Sündmus A saab k korda paikneda n-katselises katse­seerias C_n^k erineval viisil (võrdle: k inimest saab C_n^k erineval viisil hõivata n ≥ k tooli), kus­juures iga konkreetse juhu esinemise tõenäosus on p^k\cdot q^{n-k}. Seega on otsitav tõenäosus C_n^k korda suurem kui joonisel 1.34 kujutatud juhul ja tõenäosus­funktsioon (Bernoulli valem)

Pn(X=k)=Cnk·pk·qn-k.

Kontrollime tõenäosus­funktsiooni põhi­omaduse kehtivust:

P_n\left(X=0\right)+P_n\left(X=1\right)+P_n\left(X=2\right)+...+P_n\left(X=n-1\right)+P_n\left(X=n\right) = C_n^0\ q^n+C_n^1\ pq^{n-1}+C_n^2\ p^2q^{n-2}+...+C_n^{n-1}\ p^{n-1}q+C_n^n\ p^n = \left(q+p\right)^n = 1^n = 1

Siin kasutasime Newtoni binoom­valemit ja seda, et p + q = 1.

Näide 2.

Näite 1 korral oli n = 10 ja p=\frac{1}{3}. Järelikult q=1-p=\frac{2}{3} ning tõenäosus­funktsioon P_{10}\left(X=k\right)=C_{10}^k\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^k\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{10-k}, kus k = 0, 1, 2, …, 10.

Näide 3.

Leiame näites 2 saadud tõenäosus­funktsiooni abil tõenäosuse kolmega jaguva silmade arvu (sündmus A) tulekuks täringu 10 viske korral 1) 3 korda, 2) 4 korda.

  1. Et X = 3, siis P_{10}\left(X=3\right) = C_{10}^3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^7 = \frac{10!\cdot2^7}{3!\cdot7!\cdot3^{10}} ≈ 0,2601.
  2. P_{10}\left(X=4\right) = C_{10}^4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{10!\cdot2^6}{4!\cdot6!\cdot3^{10}} ≈ 0,2276.

Seega on tõenäosem, et täringu 10 viskest tuleb kolmega jaguv silmade arv kolmel korral, kui see, et tuleb neljal korral. Teisiti öeldes: tehes palju 10-seerialisi täringu­viskeid, on 26% seeriate korral oodata sündmuse A esinemist 3 korda ja 23% seeriate korral 4 korda.

Vaatleme binoom­jaotuse arv­karakteristikuid. Koostame selleks tõenäosus­funktsiooni P_n\left(X=k\right)=C_n^k\ p^kq^{n-k} väärtuste tabeli (jaotus­tabeli):

Vastavalt kesk­väärtuse definitsioonile on

EX=0\cdot q^n+1\cdot npq^{n-1}+2\cdot C_n^2\ p^2q^{n-2}+...+\left(n-2\right)\cdot C_n^2\ p^{n-2}q^2+\left(n-1\right)\cdot np^{n-1}q+np^n,

mis​ küllalt tülikate teisenduste tulemusena annab

EX = np.

Analoogiliselt on dispersioon

DX=\left(0-np\right)^2\cdot q^n+\left(1-np\right)^2\cdot npq^{n-1}+\left(2-np\right)^2\cdot C_n^2\ p^2q^{n-2}+...+\left(n-2-np\right)^2\cdot C_n^2\ p^{n-2}q^2+\left(n-1-np\right)^2\cdot np^{n-1}q+\left(n-np\right)^2\cdot p^n,

millest​

DX = npq ning σ=npq.

Näide 4.

Leiame näite 2 korral kesk­väärtuse EX, dispersiooni DX ja standard­hälbe σ:

EX=np=10\cdot\frac{1}{3}\approx3,33; DX=npq=10\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\approx2,22; σ=\sqrt{DX}\approx1,49

Kui sündmuse A tõenäosus üksik­katsel on p, siis kõige tõenäosem sündmuse A toimumiste arv m (sisuliselt mood) rahuldab n-katselises seerias võrratusi

np – q ≤ m ≤ np + p.

Kõige tõenäosem sündmuse A toimumiste arv m on naturaal­arv ühiku­pikkuselt lõigult [np – q; np + p]. Kui np – q on täis­arv, on suuruse m väärtusi kaks (bimodaalne jaotus).

Näide 5.

Vaatleme näites 2 kirjeldatud juhuslikku suurust X. Et katsete arv n = 10, p=\frac{1}{3} ja q=\frac{2}{3}, siis tõenäoseima sündmuse A esinemiste arvu (m) n-katselises seerias leiame võrratusest 10\cdot\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\le m\le10\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3} ehk 2\frac{2}{3}\le m\le3\frac{2}{3}. Ilmselt m = 3. Näites 3 saime, et suurim tõenäosus P10(X = 3) ≈ 0,2601.

Näide 6.

Leiame, kumb on tõenäosem, kas see, et 6-lapselises pere­konnas on enamik lastest poisid, või see, et enamik lastest on tüdrukud. Poeg­lapse sündimise tõenäosus on 0,514 ja tütar­lapse sündimise tõenäosus 0,486.

Leida tuleb tõenäosused P6(kas 4, 5 või 6 poissi) ja P6(kas 4, 5 või 6 tüdrukut). Rakendame tõenäosuste liitmise lauset:

P6(4 poissi) + P6(5 poissi) + P6(6 poiss​i) = C_6^4\cdot0,514^4\cdot0,486^2+C_6^5\cdot0,514^5\cdot0,486^1+C_6^6\cdot0,514^6 = 0,2473+0,1046+0,0184 ≈ 0,37,

P6(4 tüdrukut) + P6(5 tüdrukut) + P6(6 tüdrukut) = C_6^4\cdot0,486^4\cdot0,514^2+C_6^5\cdot0,486^5\cdot0,514+C_6^6\cdot0,486^6 = 0,2211+0,0836+0,0132 ≈ 0,32.

Tõenäosem on, et pere kuue lapse seas on poisse rohkem kui tüdrukuid. Samas näitab tulemus, et kuue­lapseliste perede seas on keskmiselt 37% selliseid peresid, kus poisse on tüdrukutest rohkem, ja keskmiselt 32% peresid, kus tüdrukuid on rohkem. Peresid, kus 6 lapse seas on poisse ja tüdrukuid sama palju, on keskmiselt 100% – 37% – 32% = 31%.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 209. Täringu viskamine
  1. 2 korda?

    Vastus. Tõenäosus, et 6 silma tuleb 2 korda, on .
  2. 4 korda?

    Vastus. Tõenäosus, et 6 silma tuleb 4 korda, on .
  1. 5 korda?

    Vastus. Tõenäosus, et paaris­arv silmi tuleb 5 korda, on .
  2. 1 kord?

    Vastus. Tõenäosus, et paaris­arv silmi tuleb 1 kord, on .
Ülesanne 210. Täringu viskamine

Vastus. Tõenäosus, et ka kaheksandal viskel tuleb 3 silma, on . Tõenäosus, et kaheksa viske korral tuleb 3 silma kaheksa korda, on .

Ülesanne 211. Mündi viskamine
  1. neljal korral;

    Vastus. P9(X = 4) = 
  2. viiel korral;

    Vastus. P9(X = 5) = 
  3. seitsmel korral.

    Vastus. P9(X = 7) = 
Ülesanne 212. Müntide maha­kukkumine

Vastus. Tõenäosus, et viiel rahal seitsmest on vapp peal­pool, on .

Ülesanne 213. Nööpide ostmine

Vastus. Selline juhus on . Sellise sündmuse esile­tuleku tõenäosus on .

Ülesanne 214. Täringu viskamine

Vastus. 6 silma tuleb keskmiselt 18 viskel  korda. DX = ja σ = .

Ülesanne 215. Mündi viskamine

k

0

1

2

3

4

5

P(X = k)

  • Leidke juhusliku suuruse kesk­väärtus, dispersioon ja standard­hälve.

    Vastus. EX = , DX = , σ = 
  • Milline kirja tulekute arv on kõige tõenäosem mündi viie viske korral?
    Vastus. Kõige tõenäosem mündi viie viske korral, on  või  korda kirja tulek.
Ülesanne 216. Seitsme­lapseline pere

Vastus. Tõenäosem on, et seitsme­lapselises peres on .

  • Milline on kõige tõenäosem seitsme­lapselise pere
    1. tütarde arv?

      Vastus. Seitsme­lapselises peres on kõige tõenäosem tütarde arv .
    2. poegade arv ?

      Vastus. Seitsme­lapselises peres on kõige tõenäosem poegade arv .
Ülesanne 217. Täringu viskamine
  1. algarv silmi,

    Vastus. Tõenäosus, et vähemalt ühel viskel tuleb algarv silmi, on .
  2. kas 1 või 6 silma.

    Vastus. Tõenäosus, et vähemalt ühel viskel tuleb kas 1 või 6 silma, on .
Ülesanne 218. Kurgi­seemned

Vastus. Tõenäosus, et üheksast kurgi­seemnest idaneb vähemalt 2, on .

  • Kurgi­seemned pakiti 9-kaupa. Mitmes pakikeses 100 000-st on oodata, et ei idane ükski seeme või idaneb vaid 1 seeme?

    Vastus. Umbes  pakis 100 000-st on oodata, et ei idane ükski seeme või idaneb vaid 1 seeme.
Ülesanne 219. Raha jaotamine

Vastus. Tõenäosus, et üks poiss saab rohkem raha kui teine, on .

Ülesanne 220. Male mängimine

Vastus. Tõenäosem on võita .

Ülesanne 221. Praak­tooted

Vastus. Tõenäosus, et juhuslikult valitud 5 toote seas on vähemalt üks praak­toode, on . Praak­toodete olemasolu võetud proovi­partii seas võib oodata ligi­kaudu 1 kord  päeva jooksul.

Ülesanne 222. Kanade munemine

Vastus. Pere­naine saab keskmiselt  muna iga päev. Tõenäosus, et ühel päeval munevad kõik kanad on . Keskmiselt tuleb üks selline päev  päeva kohta.

Ülesanne 223. Täringu viskamine

Vastus. 23 viske korral tuleb 1 või 6 silma keskmiselt  korda. Tõenäosus, et 23 täringu­viske korral silmade 1 või 6 esile­tulekute arv langeb piir­konda [EX – σ; EX + σ], on .

Ülesanne 224. Täringute viskamine

Vastus. Visete seeria peab olema selleks  viske pikkune.

Seotud sisu
Muud tegevused