Üle­minek logaritmi ühelt aluselt teisele

Tasku­arvutil on klahvid ainult kümnend- ja naturaal­logaritmide leidmiseks. Samuti on nende logaritmide leidmiseks koostatud mitme­suguse täpsusega tabeleid. Kui aga arvu logaritm tuleb leida mingil muul alusel, siis peame oskama üle minna kas alusele 10 või alusele e.

Näide 1.

Leiame log2 1000.

Nagu juba öeldud, tuleb selle logaritmi leidmiseks üle minna kas kümnend- või naturaal­logaritmidele, sest ainult neile logaritmidele vastavad klahvid on tasku­arvutil olemas. Läheme alusele 10. Tähistame otsitava suuruse tähega r, s.t log2 1000 = r. Siis 1000 = 2r. Logaritmime saadud võrdust alusel 10: log 1000 = r ⋅ log 2. Siit

r=\frac{\log1000}{\log2} ehk \log_21000=\frac{3}{\log2}\approx9,9658.

Tuletame analoogilist mõtte­käiku kasutades valemi üle­minekuks logaritmi aluselt a teisele alusele b. Olgu loga N = r. Siis N = ar. Logaritmime seda võrdust uuel alusel b. Nüüd

\log_bN=r\log_ba, millest r=\frac{\log_bN}{\log_ba} ehk

logaN=logbNlogba.

Kui b = N, saame valemist \log_aN=\frac{\log_NN}{\log_Na} ehk

logaN=1logNa.

Näide 2.

Lahendame võrrandi \log_5x+\log_{25}x+\log_{625}x=7.

Läheme kõigis liidetavates üle alusele 5:

\log_5x+\frac{\log_5x}{\log_525}+\frac{\log_5x}{\log_5625}=7.

Et log5 25 = 2 ja log5 625 = 4, siis omandab võrrand kuju

\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\log_5x=7 ehk \log_5x=4,

millest x = 54 = 625. Pole raske kontrollida, et x = 625 on esi­algse võrrandi lahend.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 656. Üle­minek logaritmi ühelt aluselt teisele

Antud logaritm

Uus alus

Logaritmi esitus uuel alusel

\log_2625

b = 5

\log_8193

b = 7

\log12

b = 24

Antud logaritm

Uus alus

Logaritmi esitus uuel alusel

\log_{0,66}0,8

b = 5

\log0,04

b = 5

\log4,7

b = e

Antud logaritm

Uus alus

Logaritmi esitus uuel alusel

\ln8,1

b = 10

\log_418

b = 18

\log_{101}2

b = 0,5

Antud logaritm

Uus alus

Logaritmi esitus uuel alusel

\ln100

b = 10

\ln2

b = 3

\log_816

b = 2

Ülesanne 657. Arvutamine

\log_2100 = 

\log_3243 = 

\log_50,0066 = 

\log_{12}6809 = 

\log_{0,4}1,054 = 

\log_{405}10^{-9} = 

\log_{1,06}750 = 

\log_{0,001}20 = 

\log_41024 = 

\log_7777 = 

\log_24096 = 

\log_212 = 

Ülesanne 658. Arvutamine

2^{\log_49} = 

3^{\log_{27}5} = 

5^{\log_{0,04}3} = 

a^{\log_{a^2}4} = 

10^{\log_{100}a} = 

e^{\log_{e^3}125} = 

Ülesanne 659. Logaritm­võrrandi lahendamine

\log_2x+\log_4x+\log_8x=11
x = 

\log_{64}x+\log_8x=0,5
x = 

\log_{81}x+\log_9x+\log_3x=3,5
x = 

\log_ax-\log_{a^2}x+\log_{a^4}x=0,75
x = 

Ülesanne 660. Tõestamine

\log_{ab}x=\frac{\log_ax}{1+\log_ab}

\log2=\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot\dots\cdot\log_{10}9

\log_{a^2}x=\frac{1}{2}\log_ax

\log_210=\log_23\cdot\log_34\cdot\log_410

Ülesanne 661. Tõestamine

Seotud sisu
Muud tegevused