Võrrandi cos x = m lahendamine

Võrrandil cos x = m on olemas lahendid vaid siis, kui |m| ≤ 1, sest alati on –1 ≤ cos x ≤ 1.

Võrrandi cos x = m lahendi­valemi tuletamine toimub täiesti analoogiliselt võrrandi sin x = m lahendamisega. Selleks kasutame joonist 3.31, millelt leiame punktide …, A1, A3, A5, A7, … abstsissid. Need on

x_1=\mathrm{\alpha}+2k\pi, x_2=-\mathrm{\alpha}+2k\pi, kus k ∈ Z ja \mathrm{\alpha}=\arccos m.

Joon. 3.31

Saadud kahte valemit võib kirjutada ka ühe valemina, nn üld­lahendina

x = ± arccos m + 2nπ, kus n ∈ Z.

Kui arccos leitakse kraadi­mõõdus, saame üld­lahendi kujul

x = ± arccos m + n · 360°, kus n ∈ Z.

Kui võrrand on lahendatud, tuleb kontrollida leitud nurkade sobivust alg­võrrandisse, teha nn lahendite kontroll. Selleks piisab nurkade ± arccos m kontrollimisest (n = 0).

Näide 1.

Leiame võrrandi cos x = 0,5 üld­lahendi ja eri­lahendid piir­konnas [–2π; 2π].

Et \arccos0,5=\frac{\pi}{3}, siis võrrandi üld­lahend avaldub kujul x=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi, kus n ∈ Z. Pole raske näha, et võõr­lahendeid üld­lahendis ei esine.

Leiame lahendid, mis asuvad piir­konnas [–2π; 2π]. Selleks anname suurusele n täis­arvulisi väärtusi. Kui n = 0, siis x=\pm\frac{\pi}{3}, mis asuvad piir­konnas; kui n = 1, siis x=\frac{7\pi}{3} läheb piir­konnast välja, x=\frac{5\pi}{3} asub piir­konnas; n = –1 korral x=-\frac{5\pi}{3} asub piir­konnas, x=-\frac{7\pi}{3} ei asu piir­konnas. Eri­lahendid on seega x_1=-\frac{5\pi}{3}, x_2=-\frac{\pi}{3}, x_3=\frac{\pi}{3}, x_4=\frac{5\pi}{3}.

Näide 2.

Lahendame võrrandi sin x + cos 2x = 0.

Läheme üle ühe­kordsele nurgale ja see­järel ühele ja samale funktsioonile:

\sin x+\cos^2x-\sin^2x=0,

\sin x+\left(1-\sin^2x\right)-\sin^2x=0,

2\sin^2x-\sin x-1=0.

Tulemusena saime ruut­võrrandi sin x suhtes, millest

\sin x=1 ja \sin x=-0,5.

Lahendades need põhi­võrrandid, saame:

x_1=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{2}+n\pi ja x_2=\left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{6}+n\pi, kus n ∈ Z.

Kontrolli tuleb teha eri­lahenditega \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6} ja \frac{7\pi}{6}, mis osutuvad esi­algse võrrandi lahenditeks, seega on lahenditeks ka kõik nurgad

x_1=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{2}+n\pi,   x_2=\left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{6}+n\pi, kus n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 743. Võrrandi cos x = m lahendamine

\cos x=\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\cos x=0
x = , n ∈ Z.

2\cos x=3,7
x ≈ , n ∈ Z.

\cos x=0,06543
x ≈ , n ∈ Z.

4\cos x-1,24=0
x ≈ , n ∈ Z.

Ülesanne 744. Funktsiooni null­kohad

y=\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}
x = , n ∈ Z.

y=\cos x+7
x = , n ∈ Z.

y=-3\cos x-0,94
x ≈ , n ∈ Z.

y=2-4\cos x
x = , n ∈ Z.

Ülesanne 745. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

3\cos2x=0, \left[0;\ 2\pi\right]
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 

5+\cos x=4\cos x-7
x = , n ∈ Z.

\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1, \left(-\pi;\ \pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = 

\sqrt{2}\sin^2x+\cos x=0
x = , n ∈ Z.

2\cos8x=1, \left(-\pi;\ \pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = ±, x2 = ±, x3 = ±, x4 = ±, x5 = ±, x6 = ±, x7 = ±, x8 = ±

2\cos^2x-5\cos x-3=0
x = , n ∈ Z.

\cos^3x=0,512, \left[0;\ 3\pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ 

\cos^2x+3\cos x=0
x = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 746. Funktsiooni null­kohad

y=2\left(\cos x+0,035\right); -3\pi\le x\le3\pi
x ≈ , n ∈ Z.
Null­kohad kasvavalt:
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ , x5 ≈ , x6 ≈ 

y=\frac{5}{7}\cos x-\frac{4}{9}; 0\le x\le6\pi
x ≈ , n ∈ Z.
Null­kohad kasvavalt:
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ , x5 ≈ , x6 ≈ 

Ülesanne 747. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0
cos x = 
x = , n ∈ Z.

\sin x+\cos\left(90\degree-2x\right)=0
sin x = , cos x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

\sin x+\cos x=0
\cos() = 0
x = , n ∈ Z.

\sin x+\tan x=0
sin x = , cos x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Ülesanne 748. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

\sin3x\cos2x-\cos3x\sin2x=0
 = 0
x = , n ∈ Z.

\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=0
 = 0
x = , n ∈ Z.

\sin3x\sin2x=\cos3x\cos2x
 = 0
x = , n ∈ Z.

\sin\left(360\degree-x\right)+\cos\left(90\degree+x\right)=2
sin x = 
x = , n ∈ Z.

\sin x\cos x=0,5
sin 2x = 
x = , n ∈ Z.

\sin2x\tan x=1
sin x = , sin x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused