Võrrandi sin x = m lahendamine

Võrrandil sin x = m on lahendid vaid siis, kui |m| ≤ 1, sest alati on –1 ≤ sin x ≤ 1.

Peatükis 3.16 leidsime võrdusest sin x = m vaid absoluutväärtuselt vähima nurga arcsin m, mille siinus on m. Käesolevas peatükis seame aga eesmärgiks leida kõik nurgad, mille siinus on m, s.t leida võrrandi sin x = m lahendivalem.

Võrrandi sin x = m lahendamine tähendab geomeetriliselt joonte y = sin x ja y = m lõikepunktide abstsisside leidmist. Nagu jooniselt 3.30 näeme, on neid lõpmata palju (punktide …, A₁, A₂, A₃, … abstsissid).

Joon. 3.30

Võrrandi sin x = m üheks lahendiks on nurk α = arcsin m, kus -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2}. Et täisarvu k kordse perioodi 2π lisamisel argumendile siinusfunktsiooni väärtus ei muutu, siis on võrrandi sin x = m lahendeiks kõik nurgad

x_1=\mathrm{\alpha}+k\cdot2\pi, kus k ∈ Z

(joonisel 3.30 nurgad α – 2π, α, α + 2π).

Nurgad α + 2kπ, kus k ∈ Z, pole aga võrrandi sin x = m ainsad lahendid. Ka nurk π – α on võrrandi sin x = m lahend, sest sin (π – α) = sin α = m. Lisades nurgale π – α siinusfunktsiooni täisarvukordse perioodi, saame, et võrrandi sin x = m lahendeiks on ka nurgad

x_2=\left(\pi-\mathrm{\alpha}\right)+k\cdot2\pi=-\mathrm{\alpha}+\left(2k+1\right)\pi, kus k ∈ Z

(joonisel 3.30 nurgad –α – 3π, –α – π, π – α, 3π – α).

Jooniselt 3.30 on näha, et rohkem lahendeid võrrandil pole. Järelikult saab võrrandi sin x = m kõik lahendid valemitest

x₁ = arcsin m + 2kπ ja x₂ = –arcsin m + (2k + 1)π, kus k ∈ Z.

Kui nurk arcsin m on leitud kraadides, tuleb ka radiaanides esitatud nurgad 2π ja π esitada kraadides, need on 360° ja 180°. Siis

x₁ = arcsin m + 360°k ja x₂ = –arcsin m + (2k + 1) 180°, kus k ∈ Z.

Lahendivalemeid x₁ ja x₂ saab kokku võtta ka üheks lahendiks, nn üldlahendiks kujul

x = (–1)ⁿ arcsin m + nπ või x = (–1)ⁿ arcsin m + n ⋅ 180°, kus n ∈ Z.

Andes tähele n mingi kindla täisarvulise väärtuse, saame võrrandi sin x = m ühe konkreetse lahendi, nn erilahendi.

Näide 1.

Lahendame võrrandid 1) sin x = 0; 2) sin x = 0,6428; 3) sin x = –0,5526.

Et arcsin 0 = 0 rad, siis x = (–1)ⁿ ⋅ 0 + nπ ehk x = nπ, kus n ∈ Z.
Siinuse väärtusele 0,6428 vastav nurk arcsin 0,6428 = 40°3''. Seega on võrrandi sin x = 0,6428 üldlahendiks x = (–1)ⁿ ⋅ 40°3'' + n ⋅ 180°, kus n ∈ Z.
Et sin (–33°32'44'') ≈ –0,5526, on üldlahend x = (–1)ⁿ (–33°32'44'') + n ⋅ 180° ehk x = (–1)ⁿ⁺¹33°32'44'' + n ⋅ 180°, kus n ∈ Z.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel tuleb üldreeglina lahendeid kontrollida. Seda tingib esmajoones võõrlahendite tekke võimalus. Kui kasutati üldlahendit, tuleb kontroll teha nurkadega, mis saadakse n = 0 ja n = 1 korral. Kui aga kasutatakse kahte lahendivalemit x₁ ja x₂, tuleb kontroll teha nurkadega, mis saadakse kummastki valemist, n = 0 korral.

Näide 2.

Lahendame võrrandi \sin^2x-\frac{3}{5}\sin x-\frac{2}{5}=0.

Peatükis 3.19 lahendasime antud võrrandi kui ruutvõrrandi sin x suhtes ja saime, et antud võrrand taandub kaheks põhivõrrandiks, sin x = 1 ja sin x = –0,4. Lahendame need võrrandid.

Et arcsin 1 = 90°, siis võrrandi

\sin x=1 üldlahend x_1=\left(-1\right)^n90\degree+n\cdot180\degree.

Kui sin x = –0,4, siis arcsin (–0,4) = –23°34'41'' ja üldlahend

x_2=\left(-1\right)^n\left(-23\degree34'41''\right)+n\cdot180\degree ehk x_2=\left(-1\right)^{n+1}23\degree34'41''+n\cdot180\degree.

Kontrollime lahendite sobivust. Võrrandi \sin^2x-\frac{3}{5}\sin x-\frac{2}{5}=0 lahendamisel saime üldlahendid x₁ ja x₂. Võttes neis n = 0 ja n = 1, saame üldlahendist x₁ üheainsa nurga 90° ning üldlahendist x₂ nurgad –23°34'41'' ja 203°34'41''. Nagu järgnev kontroll näitab, rahuldavad need väärtused antud võrrandit:

\sin^290\degree-\frac{3}{5}\sin90\degree-\frac{2}{5} = 1-\frac{3}{5}-\frac{2}{5} = 0;

\sin^2\left(-23\degree34'41''\right)-\frac{3}{5}\left(-23\degree34'41''\right)-\frac{2}{5} = \left(-0,4\right)^2-\frac{3}{5}\cdot\left(-0,4\right)-\frac{2}{5} = 0;

\sin^2203\degree34'41''-\frac{3}{5}\sin203\degree34'41''-\frac{2}{5} = \left(-\sin23\degree34'41''\right)^2+\frac{3}{5}\sin23\degree34'41''-\frac{2}{5} = 0.

Lahendid on x_1=\left(-1\right)^n90\degree+n\cdot180\degree; x_2=\left(-1\right)^{n+1}23\degree34'41''+n\cdot180\degree, n ∈ Z.

Näide 3.

Lahendame võrrandi \sin\left(4x+2\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Asendame 4x + 2 uue tundmatuga u, s.t 4x + 2 = u. Siis \sin u=\frac{\sqrt{3}}{2}, millest u=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{3}+n\pi. Minnes tagasi tundmatule x, saame seose 4x+2=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{3}+n\pi.

Siit x=-\frac{1}{2}+\left(-1\right)^n\frac{\pi}{12}+n\cdot\frac{\pi}{4}, kus n ∈ Z.

Kontroll.

Juhul n=0 on x=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{12}, juhul n=1 aga x=-\frac{1}{2}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}. Seega teeme kontrolli nurkade x=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{12} ja x=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6} korral:

\sin\left[4\cdot\left(-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{12}\right)+2\right] = \sin\left(-2+\frac{\pi}{3}+2\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},

\sin\left[4\cdot\left(-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}\right)+2\right] = \sin\left(-2+\frac{2\pi}{3}+2\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Lahendiks on x=-\frac{1}{2}+\left(-1\right)^n\frac{\pi}{12}+n\cdot\frac{\pi}{4}, kus n ∈ Z.

Nagu juba oleme kogenud, ei ole trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks ühte kindlat võtet, on hulk erinevaid lahendusviise, millest iga kord tuleb leida sobiv.

Näide 4.

Lahendame võrrandi \sin x-\sqrt{3}\cos x=0.

Üks soovitus trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel on minna üle ühele ja samale trigonomeetrilisele funktsioonile. Seda saab teha näiteks trigonomeetria esimese põhivalemi \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 abil, kui eelnevalt tekitada võrrandisse vajalikud ruutavaldised.

Kirjutame antud võrrandi kujul \sin x=\sqrt{3}\cos x ja tõstame siis mõlemad pooled ruutu. Nüüd \sin^2x=3\cos^2x ehk \sin^2x=3\left(1-\sin^2x\right), millest 4\sin^2x=3 ja \sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}. Leitud põhivõrrandite \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} ja \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} üldlahendid on vastavalt

x_1=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{3}+n\pi ja x_2=\left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{3}+n\pi.

Kontrollime viimaste sobivust algvõrrandisse. Kui n = 0, saame üldlahendist x₁ nurga \frac{\pi}{3}=60\degree; kui n = 1, nurga \frac{2\pi}{3}=120\degree. Neist esimene osutub lahendiks, teine aga mitte:

\sin60\degree-\sqrt{3}\cos60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} = 0;

\sin120\degree-\sqrt{3}\cos120\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} ≠ 0.

Järelikult tuleb x₁ avaldisest kõrvaldada võõrlahendid. Et lahend saadi n = 0 korral, mis esindab paarisarvulist n väärtust, siis järelikult on lahendeiks x₁ kõik väärtused, mille korral n = 2k, k ∈ Z, s.t lahendeiks on x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi, k ∈ Z.

Üldlahendist x₂ saame n = 0 korral -\frac{\pi}{3} ja n = 1 korral \frac{4\pi}{3}, millest esimene osutub võõrlahendiks, teine aga lahendiks. Seega saame x₂ avaldisest lahendid, kui n on paaritu arv, s.t kui n = 2k +1, k ∈ Z: x_2=\frac{\pi}{3}+\left(2k+1\right)\pi ehk x_2=\frac{4\pi}{3}+2k\pi.

Lahendid on seega x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi ja x_2=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k ∈ Z.

Näide 5.

Ka võrrandi sin x – cos x = 1 saab lahendada võrrandi mõlema poole ruutu tõstmise teel.

Siis \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1, millest 2\sin x\cos x=0 ehk sin 2x = 0 ja (võib ka enne teha asenduse 2x = u) 2x = (–1)ⁿ ⋅ 0 + nπ, millest x=n\cdot\frac{\pi}{2} ehk x = n ⋅ 90°.

Kontrolli peame tegema nurkadega 0° (kui n = 0) ja 90° (kui n = 1). Pole raske näha, et nurk 0° on võõrlahend ja nurk 90° on lahend.

Lahendid saame, kui n = 2k + 1;

x = (2k + 1) ⋅ 90° ehk x = 90° + k ⋅ 180°.

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 738. Võrrandi sin x = m lahendamine

\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}
x = , n ∈ Z.

\sin x=-\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\sin x=0,7808
x ≈ , n ∈ Z.

\sin x=-0,362
x ≈ , n ∈ Z.

3\sin x=2,1
x ≈ , n ∈ Z.

-2\sin x=4,6
x ≈ , n ∈ Z.

\sin3x=0
x = , n ∈ Z.

\sin x=0
x = , n ∈ Z.

2\sin x+0,0036=0
x ≈ , n ∈ Z.

\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0
x = , n ∈ Z.

Ülesanne 739. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

3\sin^2x+4\sin x=0
sin x = , sin x =
x = , n ∈ Z.

\sin^2x+2\sin x-3=0
sin x = , sin x =
x = , n ∈ Z.

\sin^3x\ =27
sin x =
x = , n ∈ Z.

\sin^3x\ =-0,008
sin x =
x ≈ , n ∈ Z.

3\cos^2x+4\sin x=0
sin x = , sin x =
x ≈ , n ∈ Z.

\sin^22x-1,35\sin2x+0,35\ =0
sin 2x = , sin 2x =
x₁ = , x₂ = , n ∈ Z.

Ülesanne 740. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

\sin x\cos x=0
x = , n ∈ Z.

\sin\left(x+60\degree\right)+\sin\left(x-60\degree\right)=0
sin x =
x = , n ∈ Z.

Ülesanne 741. Funktsiooni nullkohad

y=\sin x-1
x = , n ∈ Z.

y=\sin x+0,7
x ≈ , n ∈ Z.

y=2\sin x-0,88
x ≈ , n ∈ Z.

y=3\sin2x-0,771
x ≈ , n ∈ Z.

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 742. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

\sin x+0,8=0
x ≈ , n ∈ Z.

2+\sin x=0
x ≈ , n ∈ Z.

\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-1
x ≈ , n ∈ Z.

\sin\left(\frac{2}{3}x+1\right)=1
x ≈ , n ∈ Z.

5\sin^3x-23\sin^2x-10\sin x=0
x₁ = , x₂ = , n ∈ Z.

2\sin^3x=\sin^2x
x₁ ≈ , x₂ = , n ∈ Z.

\frac{1-\cos4x}{2\sin2x}=1
x = , n ∈ Z.

\frac{\sin3x-\sin x}{\cos2x}=1
x = , n ∈ Z.

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Võrrandi sin x = m lahendamine

Seotud sisu

Ülesanded A

Ülesanne 738. Võrrandi sin x = m lahendamine

Ülesanne 739. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

Ülesanne 740. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

Ülesanne 741. Funktsiooni null­kohad

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 742. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ülesanne 741. Funktsiooni nullkohad