Hetk­kiirus

Näide 1.

Sirg­jooneliselt liikuva keha asu­koht sirgel on määratud valemiga s (t) = –0,25t² + 4t, kus s (t₀) on keha koordinaat sellel sirgel hetkel t₀.

Sellisel juhul öeldakse, et keha liigub sirg­jooneliselt seaduse s (t) järgi.

Leiame:

1. valemid selle keha kiiruse ja kiirenduse arvutamiseks suvalisel hetkel;
2. keha kiiruse ja kiirenduse hetkel t₀ = 2;
3. mitme sekundi pärast jääb keha seisma.

Leiame esmalt valemid kiiruse ja kiirenduse arvutamiseks suvalisel hetkel:

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-0,5t+4,

a\left(t\right)=v'\left(t\right)=-0,5.

Arvutame nüüd kiiruse hetkel t_0=2.

v\left(2\right)=-0,5\cdot2+4=3\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).

Keha kiirendus on konstantne, olles hetkel t_0=2 -0,5\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}.

Hetkel, mil keha jääb seisma, on tema kiirus null. Seega lahendades võrrandi

-0,5t+4=0.

saame vastuse ka viimasele küsimusele: keha jääb seisma 8 sekundi möödudes.

Joonestame nüüd arvutil (näiteks programmiga GeoGebra) mõlema saadud funktsiooni graafikud ühes ja samas teljestikus. Olgu horisontaal­teljel aeg ja vertikaal­teljel kas keha kaugus lähte­punktist või siis kiirus (joonis 5.1).

Joon. 5.1

Graafikutelt võime lugeda järgmist:

• kaheksa esimest sekundit keha kaugeneb lähte­punktist (kaugus lähte­punktist kasvab);
• kaheksandal sekundil on keha lähte­punktist kõige kaugemal (16 m) ja jääb hetkeks seisma;
• see­järel hakkab keha taas lähte­punktile lähenema ja jõuab sinna kuue­teist­kümnendal sekundil;
• keha kiirus on liikumise alg­hetkel 4\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Edasi kiirus kahaneb kuni keha seisma jäämiseni kaheksandal sekundil. See­järel omab kiirus negatiivseid väärtusi. See tähendab, et keha liigub kaugust kirjeldava teljega vastas­suunaliselt.

Näide 2.

Sirgjooneliselt liikuva keha asukoht sirgel on määratud valemiga

s\left(t\right)=-\frac{t^3}{3}+2t^2-4

Leiame selle keha liikumise kiiruse hetkel, kui tema kiirendus on null.

Leiame valemid keha kiiruse ja kiirenduse arvutamiseks.

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-t^2+4t ja a\left(t\right)=v'\left(t\right)=\left(-t^2+4t\right)^'=-2t+4.​

Võrrandist -2t+4=0 saame, et kiirus tuleb leida hetkel t_0=2. Seega

v\left(t_0\right)=v(2)=-2^2+4\cdot2=4\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).

Vastus. Aja­hetkel, mil antud keha kiirendus on null, on tema kiirus 4\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Näide 3.

Õli­reservuaarist maha­valguv õli moodustab ringi­kujulise laigu, mille raadius kasvab konstantse kiirusega 0,5\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}. Arvutame maha­valgunud õli­laigu pindala kasvamise kiiruse hetkel, kui laigu raadius on 18 cm.

Olgu t lekke kestus sekundites, r ja S vastavalt õli­laigu raadius senti­meetrites ning õli­laigu pindala ruut­senti­meetrites pärast t sekundit väldanud leket. Pindala muutumise kiirus v avaldub sel juhul valemiga

v=S'\left(t\right), kus S=\pi r^2.

Et õli­laigu raadius on ise aja t funktsioon, siis on meil tegemist liit­funktsiooniga. Vastavalt liit­funktsiooni diferentseerimise reeglile saame nüüd, et

S'\left(t\right) = S'\left(r\right)\cdot r'\left(t\right) = 2\pi r\cdot r'\left(t\right).

Ülesande tingimuste kohaselt on laigu raadiuse muutumise kiirus r'\left(t\right) konstantne, olles igal aja­hetkel 0,5\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}. Seega

S'\left(t\right)=2\pi r\cdot0,5=\pi r.

Et arvutada õli­laigu pindala kasvamise kiirust hetkel, kui laigu raadius on 18 cm, leiame saadud tuletis­funktsiooni väärtuse kohal r = 18:

v = S'\left(t\right)_{r=18} = 18\pi ≈ 56,5\ \left(\frac{\mathrm{cm^2}}{\mathrm{s}}\right).

Vastus. Aja­hetkel, kui õli­laigu raadius on 18 cm, kasvab selle pindala kiirusega 56,5\ \frac{\mathrm{cm^2}}{\mathrm{s}}.

Näide 4.

Viie meetri pikkune redel (joonis 5.2) libiseb mööda maja­seina alla nii, et redeli alumine ots eemaldub seinast konstantse kiirusega 0,3\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. Leiame, kui kiiresti langeb redeli ülemine ots alla­poole hetkel, kui alumise otsa kaugus majast on 3 m.

Joon. 5.2

Olgu t aeg sekundites redeli libisemise algusest, x ja y vastavalt redeli alumise otsa kaugus maja­seinast ning ülemise otsa kaugus maa­pinnast. Kasutades Pythagorase teoreemi, avaldame y muutuja x funktsioonina:

y=\sqrt{25-x^2}.   (1)

Leiame nüüd valemi muutuja y hetk­kiiruse v=y'\left(t\right) arvutamiseks. Et x on aja t funktsioon, siis tuleb meil jällegi kasutada liit­funktsiooni diferentseerimise reeglit:

v = y'\left(t\right) = y'\left(x\right)\cdot x'\left(t\right) = \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}\cdot x'\left(t\right).

Arvestades seost 1, saame siit, et y'\left(t\right)=-\frac{x}{y}\cdot x'\left(t\right).

Ülesande tingimustele vastavalt x = 3 ja seega y = 4 (seosest 1). Arvestades veel seda, et x'\left(t\right)=0,3\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right) saame, et

v = y'\left(t\right)_{x=3} = -\frac{3}{4}\cdot0,3 = -0,225\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).

Miinus­märk tulemuses näitab, et muutuja x kasvades muutuja y väärtused kahanevad.

Vastus. Redeli ülemise otsa langemise hetk­kiirus nõutud hetkel on 0,225\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).