Joone puutuja tõus

Ülesanne 922. Ameerika mäed

Vastav kõver on funktsiooni y=-\frac{1}{6}x^3+x graafik.

Joon. 5.4
  1. Kui suur on tõus vaadeldava lõigu punktides A, B, C, D ja E?
  1. Mitmendal meetril alates punktist A on mägedes vaadeldaval lõigul kõrgeim punkt? Millega on võrdne graafiku puutuja tõus selles punktis?
  2. Milliste x väärtuste korral on Teie arvates tõus (langus) suurim? Leidke tõusud nendes punktides.

Et vastata ülesandes 922 esitatud küsimustele, peaksime leidma joonisel oleva graafiku puutujad punktides A, B, C, D ja E ning võrdlema nende tõuse. Kõige lihtsam on seda teha arvutil, joonestades graafikule selle suvalises punktis puutuja ning uurides see­järel puutuja asendi muutumist lohistades punkti A mööda graafikut.

Ülesanne 923. Funktsiooni graafiku puutuja
Joon. 5.5
  1. Kirjeldage graafiku puutuja asendit, kui puutuja on joonestatud kohal, mis on funktsiooni
    1. kasvamis­vahemikus;
    2. kahanemis­vahemikus;
    3. ekstreemum­koht.
  2. Mitmendasse veerandisse kuulub puutuja ja x-telje positiivse suuna vaheline nurk, kui puutuja on joonestatud kohal, mis on funktsiooni
    1. kasvamis­vahemikus;
    2. kahanemis­vahemikus;
    3. ekstreemum­koht?

Oluliselt täpsemad vastused ülesannetes 922 ja 923 esitatud küsimustele annab nende ülesannete algebraline lahendamine.

Nagu nägime, saab funktsiooni graafiku puutuja kohta olevat teavet edukalt kasutada funktsiooni uurimisel, s.o tema kasvamis- ja kahanemis­vahemike, ekstreemum­kohtade jne leidmisel. Puutujat ennast aga, nagu iga mitte­vertikaalset sirget, iseloomustab selle tõus k ja alg­ordinaat b (joonis 5.6). Puutuja tõusu kasutamist funktsioonide uurimisel me järgnevas vaatlemegi.

Joon. 5.6

Meenutame, et kohal x0 diferentseeruva funktsiooni graafikule samal kohal joonestatud puutuja tõus k=\tan\mathrm{\alpha}=f'\left(x_0\right).

Joon. 5.7

Kui funktsioon y=f\left(x\right) on diferentseeruv kohal x0, siis tema graafikule kohal x0 joonestatud puutuja tõus

k = tan α = limΔx→0tan β = limΔx→0ΔyΔx = f'(x0) (joonis 5.7).

Näide 1.

Leiame parabooli y = 4x – x2 puutuja tõusu kohal x0 = 1.

Leiame esmalt funktsiooni y = 4x – x2 tuletise:

y'=4-2x.

Arvutame see­järel tuletise väärtuse kohal x0 = 1, mis ongi otsitud puutuja tõus.

k=y'\left(1\right)=4-2\cdot1=2.

Vastus. Funktsiooni graafikule kohal x0 = 1 joonestatud puutuja tõus on 2.

Näide 2.

Leiame muutuja x väärtused, mille korral funktsiooni y=\frac{1}{3}x^3 graafiku puutuja tõusu­nurk on 45°.

Et tan 45° = 1, siis tuleb antud ülesande lahendamiseks leida x-i need väärtused, mille korral funktsiooni y=\frac{1}{3}x^3 graafiku puutuja tõus on 1. Seega tuleb leida lahend võrrandile y'=1. Et

y'=x^2, siis x^2=1,

millest x=\pm1.

Vastus. Funktsiooni y=\frac{1}{3}x^3 graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga, kui puutuja on joonestatud kas kohal x1 = 1 või kohal x2 = –1.

Näide 3.

Leiame muutuja x need väärtused, mille korral funktsiooni y=\frac{x}{1-x} graafiku puutuja tõus on positiivne.

Muutuja x nõutud väärtuste leidmiseks tuleb lahendada võrratus y' > 0. Et

y' = \frac{1\cdot\left(1-x\right)-x\cdot\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^2} = \frac{1}{\left(1-x\right)^2},

siis tuleb lahendada võrratus \frac{1}{\left(1-x\right)^2}>0.

Saadud võrratust rahuldavad aga kõik lähte­funktsiooni määramis­piirkonda kuuluvad arvud.

Vastus. Funktsiooni y=\frac{x}{1-x} graafiku puutuja tõus on positiivne selle funktsiooni määramis­piirkonna igas punktis.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 924. Sirge tõus ja tõusu­nurk
  1. negatiivne;
  2. null;
  3. positiivne.

Milline on igal nimetatud juhul sirge tõusu­nurk?

Ülesanne 925. Funktsiooni graafiku puutuja tõus

y=x^2+2x+1, x_0=0,5

Vastus. k = 

y=2x^2-3x+1, x_0=2

Vastus. k = 

y=\sin x, x_0=0

Vastus. k = 

y=\cos x, x_0=\frac{\pi}{2}

Vastus. k = 

y=\frac{x}{2x+1}, x_0=-2

Vastus. k = 

y=\frac{x^2+1}{x}, x_0=-1

Vastus. k = 

Ülesanne 926. Funktsiooni graafiku puutuja

y=e^x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui x = .

y=\log x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui x = .

y=-\frac{1}{x}

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui x =  või x = .

y=x-4

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja moodustab x-teljega 45°-se nurga kui .

Ülesanne 927. Funktsiooni graafiku puutuja

y=3x^3-16x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=x^3-3x^2

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=2x^3-30x^2+126x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=4x^3-21x^2+18x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui x =  või x = .

y=x^3-2x^2+4x

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui .

y=\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)

Vastus. Funktsiooni graafikule joonestatud puutuja on paralleelne x-teljega kui .

Ülesanne 928. Parabooli hari­punkti abstsiss

y=x^2+x+1

Vastus. Parabooli hari­punkti abstsiss on .

y=3x^2-2x+4

Vastus. Parabooli hari­punkti abstsiss on .

y=-3x^2+6x-2

Vastus. Parabooli hari­punkti abstsiss on .

Ülesanne 929. Funktsiooni graafiku puutuja

y=-x^3+15x^2-75x-3

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x^3-6x^2+45x+3

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x^3+6x^2-15x+6

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x^3-9x^2+24x-3

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

Ülesanne 930. Ameerika mäed

Vastav kõver on funktsiooni y=-\frac{1}{6}x^3+x graafik. Vastake küsimustele tuletise abil.

Joon. 5.4
  1. Kui suur on tõus vaadeldava lõigu punktides A, B, C, D ja E?
    Vastus. Punktis A on tõus , punktis B , punktis C , punktis D  ja punktis E .
  1. Mitmendal meetril alates punktist A on mägedes vaadeldaval lõigul kõrgeim punkt? Millega on võrdne graafiku puutuja tõus selles punktis?
    Vastus. Vaadeldaval lõigul on mägedes kõrgeim punkt  m kaugusel punktist A. Selles punktis on graafiku puutuja tõus .
  2. Milliste x väärtuste korral on Teie arvates tõus (langus) suurim? Leidke tõusud nendes punktides.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 931. Funktsiooni graafiku puutuja

y=\frac{x^2}{x+1}

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=\frac{x^2-1}{2x+1}

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x\ln x

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

y=x\cdot2^x

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga terav­nurga, kui x ∈ .

Ülesanne 932. Funktsiooni graafiku puutuja

y=\sqrt{1-x^2}

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nüri­nurga, kui x ∈ .

y=\ln\cos x

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nüri­nurga, kui x ∈ .

y=\sin x\cdot\cos x, kus 0 ≤ x ≤ π

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nüri­nurga, kui x ∈ .

y=x\cdot e^{2x}

Vastus. Funktsiooni graafiku puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nüri­nurga, kui x ∈ .

Ülesanne 933. Parabooli hari­punkti koordinaadid

Vastus. Parabooli hari­punkti koordinaadid on (; ).

Ülesanne 934. Funktsiooni graafiku puutuja

Vastus. Selle funktsiooni graafiku kõikidest punktidest joonestatud puutujate tõusud on positiivsed, kui .

Joonestage arvutil mõnedele leitud a väärtustele vastavate funktsioonide graafikud. Mida olulist võib öelda nende funktsioonide kasvamise/kahanemise kohta?

Ülesanne 935. Parabooli puutuja

Vastus. a = ; b = 

Ülesanne 936. Funktsiooni graafiku puutuja

Vastus. a = ; b = 

Seotud sisu
Muud tegevused