До сих пор, чтобы найти вероятность P(A + B) суммы A + B двух событий, мы находили сначала число n всех элементарных событий, а также число k элементарных событий, благоприятствующих событию А + В. Так обстояло дело в подпунктах 6), 7) 9) и 10) задания 99.
Выведем теперь общее правило, позволяющее вычислить вероятность P(A + B), если известны вероятности P(A) и P(B).
- Пусть события A и B несовместны. Все возможные исходы испытания – это E1, E2, …, En, из которых событию А благоприятствуют k элементарных событий, а событию В – m таких событий. Тогда число благоприятствующих возможностей для события A + B равно k + m. Следовательно,
или
P(A + B) = P(A) + P(B)
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Пример 1.
Если событие A заключается в выпадении не более 4 очков, а событие B – в выпадении 5 очков при бросании игральной кости, то
Для несовместных событий формула вероятности суммы событий легко обобщается на случай n слагаемых. Чтобы вывести эту формулу, можно рассмотреть событие (A + B) + C, затем событие (A + B + C) + D и т. д. В общем случае:
P(A + B + … + K) = P(A) + P(B) + … + P(K).
В случае пространства элементарных событий Ω = {E1; E2; ... ; En} все элементарные события несовместны и E1 + E2 + ... + En = Ω. Поэтому
P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1.
Таким образом,
сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.
Кроме того,
,
так как и в данном случае
- Рассмотрим теперь случай, когда события A и B не являются несовместными. Пусть из всех возможностей (элементарных событий) E1, E2, …, En благоприятствующими событию А являются k возможностей, m – число элементарных событий, благоприятствующих событию В, а r – число элементарных событий, благоприятствующих как событию А, так и событию В. Данная ситуация изображена на рисунке 1.11, где точками обозначены элементарные события.
 Рис. 1.11 | ||||||
Тогда число благоприятствующих возможностей для события А + В равно k + m – r, так как среди k + m возможностей имеется r дважды повторяющихся. Следовательно,
Имеем:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Данное равенство выражает теорему сложения вероятностей[понятие: Теорема сложения вероятностей (tõenäosuste liitmise lause) – если события не являются несовместными, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей данных событий, из которой вычтена вероятность произведения данных событий.]. В словесной формулировке:
Если события не являются несовместными, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей данных событий, из которой вычтена вероятность произведения данных событий.
Пример 2.
Рассмотрим извлечение случайной карты из колоды в 52 карты. Пусть событием А является появление бубновой карты, а событием В – появление картинки. Найдем вероятность события А + В. Очевидно, что
Упражнения A
Задание 107. Извлечение шаров из урны
Вычислите также вероятности событий:
Задание 108. Извлечение карты из колоды
Найдите вероятность каждого из следующих шести событий.
Событие | Формулировка | Вероятность |
Упражнения Б
Задание 109. Извлечение карты из колоды
Событие | Формулировка | Вероятность |
A + B | ||
A + D | ||
A + F | ||
C + D | ||
C + F | ||
F + D |
