Пример 1.
Рассмотрим бросание игральной кости и пусть событие А заключается в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении не менее, чем четырех очков. Благоприятствующими событию А являются элементарные события, заключающиеся соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков, а событию B – выпадение 4, 5 и 6 очков. Если в результате бросания игральной кости выпадет 4 или 6 очков, то одновременно произойдут как событие A, так и событие B. С другой стороны, элементарные события «выпадение 4 очков» и «выпадение 6 очков» образуют новое, третье событие С, заключающееся в выпадении 4 или 6 очков. Значит, одновременное осуществление событий A и B – это также событие.
Одновременное осуществление двух событий A и B можно рассматривать как новое событие C, которое называется произведением событий[понятие: Произведение событий (sündmuste korrutis) – событие, состоящее в совместном появлении данных событий 𝐴 и 𝐵. Обозначение: 𝐴∩𝐵 или 𝐴𝐵.] A и B (рис. 1.6), что записывается в виде AB = C или A ∩ B = C.
Рис. 1.6
|
||||||
Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.
Если у событий А и В нет общих благоприятствующих элементарных событий (k = 0, рис. 1.7, например, событие А – выпадение четного числа очков и событие В – выпадение нечетного числа очков), то произведением этих событий является невозможное событие. В этом случае AB = ∅.
Рис. 1.7
|
||||||
Пример 2.
Пусть событием А является появление крестовой карты, а событием В – появление картинки при извлечении наугад одной карты из колоды в 36 карт. Найдем вероятность произведения событий А и В.
Так как событие АВ означает появление картинки крестовой масти, то оно состоит из трех благоприятствующих исходов: крестовый король, крестовая дама и крестовый валет. Искомая вероятность
Два события называются несовместными[понятие: Несовместные события (teineteist välistavad sündmused) – два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в том же испытании, т. е. они не могут произойти одновременно.], если появление одного из них исключает появление другого в том же испытании, т. е. они не могут произойти одновременно.
Например, при бросании игральной кости не могут одновременно выпасть четное число очков (событие А) и нечетное число очков (событие В). Эти события несовместны (рис. 1.7).
События, рассмотренные в примере 2, не являются несовместными.
Событие А и противоположное ему событие
В случае пространства всех элементарных событий {E1, E2, …, En} все элементарные события попарно несовместны. В краткой записи: EiEj = ∅, если i ≠ j.
Сумма[понятие: Сумма двух событий (kahe sündmuse summa) – суммой двух событий 𝐴 и 𝐵 называется событие, состоящее в появлении события 𝐴, или события 𝐵, или обоих этих событий.Обозначение: 𝐴∪𝐵 или 𝐴+𝐵.] двух событий определяется следующим образом:
суммой двух событий A и B называется событие А + В, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
Сумма событий А и В обозначается, кроме символа А + В, также символом A ∪ B.
Таким образом, сумма событий А и В – это событие, которое происходит в том и только том случае, когда происходит хотя бы одно из элементарных событий, благоприятствующих либо событию А, либо событию В, либо обоим этим событиям.
Пример 3.
Пусть событием А является выпадение 1 очка, а событием В – выпадение 6 очков при бросании игральной кости. Тогда событие А + В заключается в выпадении либо 1, либо 6 очков. Соответствующая вероятность
Пример 4.
Пусть A и B – события, рассмотренные в примере 2. Тогда событие А + В заключается в появлении карты крестовой масти или картинки. Например, если будет вынут крестовый туз или же бубновый валет, то событие А + В произошло. Но это событие происходит и в том случае, когда, например, будет вынута крестовая дама, что является благоприятствующим исходом для произведения АВ данных событий (см. пример 2). Таким образом, данный пример показывает, что событие А + В происходит и тогда, когда происходит событие АВ.
Если события А и В совместны (как в примере 4), то событие А + В происходит как в случаях, когда происходит только одно из событий А или В, так и в случае, когда эти события происходят одновременно (т. е. происходит событие АВ, см. рис. 1.8).
Рис. 1.8
|
||||||
Если же события несовместны (как в примере 3) то событие А + В заключается в осуществлении либо события А, либо события В (рис. 1.9).
Можно рассматривать и сумму любого числа событий, например, А + В + С.
Рис. 1.9
|
||||||
Так как для пространства всех элементарных событий {E1, E2, …, En} при каждом испытании осуществляется одно из элементарных событий, то
E1 + E2 + … + En = Ω.
То же справедливо и для событий A и
Определим теперь разность событий[понятие: Разность событий (sündmuste vahe) – разность событий 𝐴 и 𝐵 есть событие, которое заключается в том, что событие 𝐴 происходит, а событие 𝐵 не происходит. Обозначение: 𝐴 \ 𝐵.] событий:
разностью A \ B событий А и В называется событие, которое заключается в том, что событие A происходит, а событие B не происходит.
Благоприятствующими элементарными событиями для разности A \ B являются те благоприятствующие событию А элементарные события, которые не являются благоприятствующими событию В (рис. 1.10).
Рис. 1.10 |
||||||
Пример 5.
Пусть А и В – события, рассмотреные в примере 2, т. е. А – появление крестовой карты, В – появление картинки. Тогда А \ В – это событие, заключающееся в появлении крестовой карты, не являющейся картинкой.
Упражнения A
Задание 99. Бросание игральной кости
Задание 100. Бросание игральной кости
AB ?A+B ?
Задание 101. Произведение и сумма случайного события и достоверного события или невозможного события
AΩ =
A∅ =
A + Ω =
A + ∅ =
Задание 102. Бросание монет
В чем заключаются события
- A + B?
- B + C?
- C + D?
- AD?
- CD?
Задание 103. Бросание игральной кости
Задание 104. Бросание монет
Упражнения Б
Задание 105. Бросание игральной кости
Задание 106. Свойства произведения и суммы событий
AB = BA
(AB)C = A(BC)
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A(B + C) = AB + AC
