Арифметическое среднее, медиана и мода

После сбора статистических данных происходит их обработка – анализ данных[понятие: Анализ данных (andmeanalüüs) – обработка и исследование статистических данных, в ходе которых вычисляются характеристики, отражающие распределение значений признака и на основании этого делаются выводы. ]. В ходе этого анализа данные соответствующим образом сортируют и по ним находят некоторые величины – характеристики[понятие: Характеристики (karakteristikud) – величины, характеризующие распределение значений исследуемого признака как единое целое с той или иной точки зрения.], которые характеризуют распределение значений рассматриваемого признака как единое целое с той или иной точки зрения. Основные характеристики можно разбить на две группы: 1) характеристики расположения, или средние; 2) характеристики рассéяния данных.

Характеристики расположения[понятие: Характеристики расположения (paiknemise karakteristikud) – величины, которые дают информацию о расположении значений признака на числовой прямой и характеризуют этот признак с точки зрения некоторого „среднего” значения. Например, среднее арифметическое, мода, медиана.] дают информацию о расположении значений признака на числовой прямой и характеризуют этот признак с точки зрения некоторого „среднего” значения.

Характеристики рассеяния[понятие: Характеристики рассеяния (hajuvuse karakteristikud) – величины, которые показывают, насколько отличаются друг от друга значения признака, насколько они разбросаны относительно среднего значения. Например, размах статистической совокупности, отклонение, дисперсия, стандартное отклонение.] показывают, насколько отличаются друг от друга значения признака, насколько они разбросаны относительно среднего значения.

Рассмотрим теперь характеристики расположения. Этими характеристиками являются арифметическое среднее, медиана и мода.

Арифметическое среднее обозначают символом \overline{x}. При обработке данных на компьютере пользуются функциями AVERAGE или MEAN (на русифицированном компьютере может быть и СРЗНАЧ).

Если значениями количественного признака являются a₁, a₂, a₃, …, a_N, то арифметическое среднее:

то арифметическое среднее вычисляется по формуле

Эту формулу называют также формулой взвешенного среднего (арифметического)[понятие: Взвешенное среднее арифметическое (kaalutud aritmeetiline keskmine) – арифметическое среднее, вычисленное на основании частотной таблицы, в которой частоты показывают, каков "удельный вес" данного значения признака в множестве всех значений.], поскольку частоты f_i показывают, каков «удельный вес» значения x_i в множестве всех значений.

Действительно, если w_i=\frac{f_i}{N}, то получим: \overline{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n}{N} = x_1\frac{f_1}{N}+x_2\frac{f_2}{N}+...+x_n\frac{f_n}{N} = x_1w_1+x_2w_2+...+x_nw_n. 

Аналогично рассматривается случай, когда относительные частоты w_i выражены в процентах.

Если статистические данные описаны частотной таблицей или таблицей относительных частот, в которой значения признака разбиты на интервалы, то в каждом интервале x_i < x ≤ x_i+1 все значения признака заменяют некоторым средним его значением, которое называется представителем этого интервала и которому приписывается соответствующая интервалу частота или относительная частота. В качестве такого среднего значения обычно берут

\frac{1}{2}\left(x_i+x_{i+1}\right),

Медиана обозначается символом Ме или me, в системе обработки данных – это функция MЕDIAN. Если вариационный ряд х₁, х₂, ... , х_N имеет нечетное число членов (т. е. N нечетно), то медианой является член ряда, расположенный точно в его середине. Если же N четно, то медианой считается арифметическое среднее двух серединных членов. Другими словами,

Если распределение признака задано таблицей, разбитой на классы (интервалы), то действуют таким же образом, как и в примере 4, но результатом является так называемый медианный интервал[понятие: Медианный интервал (mediaanvahemik) – интервал, или класс, которому принадлежит медиана.]. В случае примера 2 таким интервалом будет промежуток 165 < x ≤ 170. Если оперировать представителями интервалов, то получим в качестве медианы число 167,5. Из соответствующего вариационного ряда (см. пример 4, § 1.10) найдем, что Me = 167.

Хотя из всех так называемых средних значений наиболее употребительным является арифметическое среднее, имеются ситуации, когда более подходящей характеристикой признака является медиана. Это относится, прежде всего, к случаю, когда в вариационном ряде имеются отдельные члены, которые намного больше или намного меньше остальных членов, а объем совокупности невелик. В этом случае арифметическое среднее под влиянием такого «ненормального» члена сдвигается на числовой оси в сторону, где нет значений признака или где их очень мало. В какой-то мере такую ситуацию отражает пример 3, где средним размером обуви у девушек является \overline{x}=35,8\approx36, в то же время, большинство значений колеблются от 35 до 36. Медианой же здесь является 35, что представляется более естественным средним значением.

Медиану легко найти, в то же время она удобна для приближенной оценки значения арифметического среднего. Чем симметричнее распределены значения признака, тем лучше медиана характеризует его среднее значение. Например, медиана размера обуви у юношей в примере 3 равна 40, а арифметическое среднее равно 40,1. Медиану часто удается найти с помощью одного или двух измерений. Например, чтобы найти медиану роста учеников, выстроим их в шеренгу по росту и затем измерим рост одного или двух учеников из середины шеренги.

Мода обозначается символом Мо или mo, в системе обработки данных – это функция MODE. В примерe 4 модой оценок контрольной работы является “4”, так как это значение встречается чаще всего (f = 10 или w = 36%). Если данные разбиты на интервалы, то модой считают тот интервал, которому соответствует наибольшая частота. В примерe 2 таким интервалом является промежуток 165 < x ≤ 170.

Признак может иметь и более одной моды или вообще не иметь моды (все значения признака наблюдаются с одинаковой частотой). В случае двух мод говорят, что признак (или рассматриваемое распределение) является бимодальным.

Если распределение совершенно симметрично и имеется только одна мода, то \overline{x}=Me=Mo, т. е. все три средние совпадают.

Мода используется в экономических исследованиях, в торговле, при исследовании спроса и т. д. В некоторых случаях моду можно рассматривать как общепринятую норму. Например, модой мужской прически является нормальная прическа, модой возраста впервые вступающих в брак – нормальный для этого возраст.