Характеристики рассéяния

Две статистические совокупности имеют следующие частотные таблицы:

Для обеих совокупностей N = 28, \overline{x}=10, Me = 10. В случае первой совокупности значения признака более плотно расположены около арифметического среднего, а в случае второй совокупности – более редко. Можно сказать, что в первом случае значения признака имеют меньшее рассеяние, а во втором случае – бóльшее. Однако рассмотренные до сих пор характеристики этого не показывают. Зададимся теперь целью найти такие характеристики, которые отражали бы степень рассеяния значений признака.

В какой-то мере рассеяние значений признака характеризуется протяженностью вариационного ряда[понятие: Протяженность, или размах вариационного ряда (variatsioonrea ulatus) – расстояние между наименьшим и наибольшим значениями признака.], например, его «длиной» (или размахом[понятие: Размах вариационного ряда – см. протяженность вариационного ряда.]) – расстоянием между наименьшим и наибольшим значениями. Однако в случае рассматриваемого примера эта протяженность для обоих случаев одинакова, так как для обеих совокупностей x_min = 7, x_max = 13. Значит, этот показатель не всегда позволяет установить, в каком случае рассеяние больше, а в каком – меньше.

Найдем характеристику, которая позволяет оценить рассеяние значений признака относительно арифметического среднего.

Отличие какого-либо отдельного значения х_i от среднего значения \overline{x} показывает разность x_i-\overline{x}, которая называется отклонением[понятие: Отклонение (hälve) – разность между данным значением признака и некоторым фиксированным числом. Обычно рассматривают разность между значением признака и арифметическим средним.] (от арифметического среднего). При этом величина \left|x_i-\overline{x}\right| показывает, на сколько велико это отклонение, а знак („+” или „–”) показывает, что x_i>\overline{x} или x_i>\overline{x}.

На основании полученной таблицы зачастую трудно сразу сделать вывод o том, насколько рассеянными являются значения признака. Для этого нужно получить некоторую сводную, обобщающую характеристику. Может показаться, что в качестве такой характеристики можно взять среднее отклонение, т. е. арифметическое среднее всех отклонений. Однако, такое среднее отклонение всегда равно нулю, поскольку

Действительно,

\left(x_1-\overline{x}\right)f_1+\left(x_2-\overline{x}\right)f_2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)f_n = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\overline{x}\left(f_1+f_2+...+f_n\right) = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\frac{x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n}{N}\cdot N = 0

Чтобы избежать взаимного уничтожения отклонений, в качестве величины, характеризующей рассеяние, можно взять арифметическое среднее квадратов этих отклонений (они являются неотрицательными числами), которое называется дисперсией[понятие: Дисперсия (dispersioon) – мера рассеяния значений признака 𝑋, равная арифметическому среднему квадратов всех отклонений значений признака. Обозначение: σ² (сигма квадрат).] и обозначается символом σ² (или s²), При компьютерной обработке данных используется функция VARP.

Таким образом,

Чем больше величина σ², тем больше рассеяние значений признака.

Полученная характеристика обладает, однако, тем недостатком, что единицей ее измерения является квадрат единицы измерения значений х рассматриваемого признака. Чтобы освободиться от этого недостатка, при решении практических задач пользуются так называемым стандартным отклонением[понятие: Стандартное отклонение (standardhälve) – характеристика рассеяния значений признака, равная корню квадратному из дисперсии. Обозначение: σ (сигма).] (или средним квадратическим отклонением) σ (иногда обозначается символом s), которое определяется по формуле

При компьютерной обработке данных используется функция STDEVP.

В большинстве случаев более половины значений признака отличаются от арифметического среднего меньше, чем на величину стандартного отклонения s. Другими словами, большинство этих значений принадлежит отрезку $$ \left[\overline{x}-\text{σ}; \overline{x}+\text{σ}\right]$$. Поэтому арифметическое среднее часто указывают в виде $$ \overline{x}\pm \text{σ}$$.

Из предыдущих формул можно вывести следующую формулу для вычисления дисперсии σ²:

где \overline{x}^2 – квадрат арифметического среднего, а \overline{x^2} – арифметическое среднее квадратов значений признака, т. е.

\overline{x^2}=\frac{1}{N}\left(x_1^2f_1+x_2^2f_2+...+x_n^2f_n\right).

Пользуясь формулами дисперсии или стандартного отклонения, можно оценить рассеяние не только относительно арифметического среднего, но и относительно некоторого другого числа, которое в этом случае нужно подставить в формулу вместо \overline{x}.

Оказывается, что рассеяние значений признака относительно арифметического среднего всегда является наименьшим в том смысле, что оно меньше рассеяния относительно любого другого числа. Другими словами,

Сравнение двух совокупностей с точки зрения рассеяния сводится к сравнению их соответствующих характеристик. Так мы поступим, например, при решении задания 174 и в данном случае это оправдано, так как соответствующие средние не всегда различны. Если же арифметические средние различны, то такой подход не является оправданным. Например, если мы хотим сравнить рассеяние роста мальчиков начальной школы и рассеяние роста взрослых мужчин, то средние арифметические будут различными – слишком различны здесь числовые данные роста. В этом случае более подходящим будет найти относительное рассеяние в сравнении с арифметическим средним. Эта величина определяется равенством

и называется коэффициентом вариации[понятие: Коэффициент вариации (variatsioonkordaja) – частное от деления стандартного отклонения на арифметическое среднее значений признака; может выражаться и в процентах. В виде формулы: 𝑣 = σ : ̅𝑥.]. Как и все величины, выражающиеся в виде отношений, его можно выражать в процентах. Коэффициент вариации имеет смысл лишь в том случае, когда все значения признака положительны.

Аналогичная ситуация наблюдается при сравнении рассеяния признаков, у которых значения выражены в разных единицах измерения (например, в сантиметрах и килограммах). Например, такой подход необходим, если мы хотим выяснить, какой признак, рост или вес, имеет бóльшее рассеяние относительно среднего значения у мальчиков одного и того же класса.