Биномиальное распределение

Пример 1.

Пусть нас интересует выпадение на игральной кости числа очков, делящегося на 3 (событие А).

Вероятность при любом бросании кости (испытании) одна и та же, а именно, p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. Все испытания попарно независимы. Рассмотрим серию испытаний из 10 бросков. Сколько раз событие А произойдет при 10 испытаниях, зависит от случая. Поэтому число появлений события А в серии из 10 испытаний является случайной величиной Х, возможными значениями которой являются числа 0, 1, 2, ... , 10. Определенная таким образом случайная величина имеет так называемое биномиальное распределение[понятие: Биномиальное распределение (binoomjaotus) – распределение случайной величины 𝑋, выражающей число 𝑘 появлений некоторого события 𝐴 в серии из 𝑛 независимых испытаний.].

Пример 2.

В случае примера 1 n = 10 и p=\frac{1}{3}. Следовательно, q=1-p=\frac{2}{3} и закон распределения выражается формулой P_{10}\left(X=k\right)=C_{10}^k\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^k\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{10-k}, где k = 0, 1, 2, …, 10.

Пример 3.

С помощью найденного в примере 2 закона распределения найдем вероятность того, что в серии из 10 бросаний игральной кости делящееся на 3 число очков выпадет (событие А): 1) 3 раза; 2) 4 раза.

1. Так как X = 3, то P_{10}\left(X=3\right) = C_{10}^3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^7 = \frac{10!\cdot2^7}{3!\cdot7!\cdot3^{10}} ≈ 0,2601.
2. P_{10}\left(X=4\right) = C_{10}^4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{10!\cdot2^6}{4!\cdot6!\cdot3^{10}} ≈ 0,2276.

Итак, трехкратное выпадение в серии из 10 бросаний делящегося на 3 числа очков более вероятно, чем четырехкратное выпадение такого числа очков. Другими словами, если выполнить много серий из 10 бросаний кости, то в 26% серий можно ожидать, что событие А произойдет 3 раза, а в 23% серий – что оно произойдет 4 раза.

Пример 4.

В условиях примера 2 найдем среднее значение ЕХ, дисперсию DX и стандартное отклонение σ. Получим:

EX=np=10\cdot\frac{1}{3}\approx3,33; DX=npq=10\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\approx2,22; σ=\sqrt{DX}\approx1,49

Пример 5.

Пусть Х – случайная величина, рассмотренная в примере 4. В данном случае n = 10, p=\frac{1}{3} и q=\frac{2}{3}. Наивероятнейшее число m появлений события А найдем из неравенств 10\cdot\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\le m\le10\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}, или 2\frac{2}{3}\le m\le3\frac{2}{3}. Очевидно, что m = 3. Соответствующую этому значению случайной величины вероятность P₁₀(X = 3) ≈ 0,2601 мы нашли уже в примере 3.

Пример 6.

Выясним, что является более вероятным для семьи, в которой 6 детей: то, что большинство детей – мальчики, или то, что большинство детей – девочки. При этом будем считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,514, а рождения девочки – 0,486.

Нужно найти вероятности P₆(4, 5 или 6 мальчиков) и P₆(4, 5 или 6 девочек). Из теоремы сложения вероятностей получим, что

P₆(4 мальчика) + P₆(5 мальчиков) + P₆(6 мальчиков) = C_6^4\cdot0,514^4\cdot0,486^2+C_6^5\cdot0,514^5\cdot0,486^1+C_6^6\cdot0,514^6 = 0,2473+0,1046+0,0184 ≈ 0,37,

P₆(4 девочки) + P₆(5 девочек) + P₆(6 девочек) = C_6^4\cdot0,486^4\cdot0,514^2+C_6^5\cdot0,486^5\cdot0,514+C_6^6\cdot0,486^6 = 0,2211+0,0836+0,0132 ≈ 0,32.

Таким образом, для семьи, в которой 6 детей, более вероятным является то, что большинство из них – мальчики, чем то, что большинство из них – девочки. Среди таких семей в среднем в 37% случаев мальчиков в семье больше, чем девочек, а в 32% случаев девочек больше, чем мальчиков. Примерно 100% – 37% – 32% = 31% из этих семей имеют мальчиков и девочек поровну.