До сих пор мы рассматривали только дискретные случайные величины. Случайная величина Х называется дискретной, если она имеет конечное число значений, принадлежащих некоторому промежутку, но расположенных отдельно друг от друга.
Теперь мы рассмотрим непрерывные случайные величины, которые принимают все возможные значения из некоторого промежутка числовой оси. Mножество значений такой величины бесконечно. Здесь мы остановимся на одном из важных случаев распределения непрерывной величины, с помощью которого описываются многие природные явления. Этим распределением является так называемое нормальное распределение[понятие: Нормальное распределение (normaaljaotus) – распределение непрерывной случайной величины 𝑋. Большая часть случайных величин, описывающих природные общественные явления, подчиняется нормальному распределению. Графиком является кривая Гаусса.].
Пример.
Нормальное распределение имеет вес новорожденных девочек и мальчиков. На рисунке 1.35 изображен график распределения случайной величины Х – веса новорожденных младенцев, родившихся в Эстонии в 2007 году. На оси абсцисс отмечаются значения случайной величины Х, а на оси ординат – соответствующие вероятности в процентах. Поскольку случайная величина является непрерывной, то она имеет, в принципе, бесконечное множество возможных значений и потому вероятность P(xi) появления конкретного значения xi практически равна нулю. Отсюда следует, что нет смысла выяснять, какова вероятность того, что новорожденный ребенок будет весить 3276 граммов. Имеет смысл, например, найти вероятность P(x ≤ 3500) или же P(3000 ≤ x ≤ 3500) и т. п.
 Рис. 1.35 | ||||||
Идеальный график некоторого нормального распределения изображен на рисунке 1.36, причем –∞ < x < +∞. График нормального распределения называется кривой Гаусса[понятие: Кривая Гаусса (Gaussi kõver) – график нормального распределения.] (по имени немецкого математика Карла Фридриха Гаусса), а также колоколообразной кривой.
 Рис. 1.36 | ||||||
Перечислим свойства нормального распределения.
- Нормальное распределение симметрично относительно своего среднего значения.
- В случае нормального распределения среднее значение, мода и медиана совпадают.
- При увеличении дисперсии график становится ниже, но, в тоже время, шире (увеличивается рассеяние) и более пологим.
- Площадь фигуры, расположенной между кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1, так как сумма вероятностей P(X = xi) всех возможных значений случайной величины Х равна 1 (несмотря на то, что каждая такая вероятность P(X = xi) практически равна нулю).
- Из всех значений случайной величины примерно (см. рис. 1.36):
68% расположено в отрезке [EX – σ; EX + σ],
95% расположено в отрезке [EX – 2σ; EX + 2σ],
99,7% расположено в отрезке [EX – 3σ; EX + 3σ].
Последнее из указанных свойств называется правилом трех сигм. Если данное свойство выполнено, то распределение считается нормальным.
При исследовании конкретных случайных величин, полученных на основании эмпирических данных, например, вес новорожденных детей и т. п., обычно получается несколько искаженное, т. е. лишь близкое к нормальному, распределение. Так, на рисунке 1.35, где изображено распределение роста новорожденных детей, график не симметричен. Причиной является то, что мальчиков рождается больше и их вес также больше.
Упражнения A
Задание 225. Ошибки измерения
Ответ: это распределение нормальным. За диаметр трубы следует принять мм.
Задание 226. Результаты контрольной работы
Ответ: результаты контрольной работы нормальное распределение. Среднее число полученных баллов было.
- Какова вероятность того, что случайно выбранная работа имеет оценку, расположенную в промежутке ?
Ответ: вероятность того, что случайно выбранная работа имеет оценку, расположенную в промежутке , равна .
Задание 227. Результаты прыжков с трамплина
Ответ: в I попытке средняя длина прыжка была м, а во II попытке – м. попытка имела более равномерное распределение. Первая попытка согласуется с нормальным распределением, вторая попытка согласуется с нормальным распределением.
