Нули функции. Область положительности и область отрицательности функции

Займемся теперь изучением свойств функций. Рассмотрим график некоторой функции y = f(x), изображенный на рисунке 2.32.

Рис. 2.32

Будем считать, что на рисунке изображена только часть графика и что вне отрезка [–2; 8] этот график и далее продолжается так, как показано на рисунке (т. е. влево вниз и вправо вверх). Тогда областью определения функции будет множество X = R. Множеством значений функции будет также множество R, так как функция принимает любое значение у из интервала \left(-∞;\ ∞\right). Выделим те части области определения, в которых значения функции положительны, отрицательны или равны нулю.

Значения аргумента, при которых значения функции равны 0, называются нулями функции[понятие: Нули функции (funktsiooni nullkohad) – значения аргумента, при которых значения функции равны 0.].
Чтобы найти нули функции у = f(x), нужно решить уравнение f(x) = 0.

Множество всех нулей функции обозначается символом X₀. Нули функции – это точки оси абсцисс, в которых график функции пересекает эту ось или касается ее. Рассматриваемая функция y = f (x) имеет 4 нуля (рис. 2.32): x₁ = –2, x₂ = 1, x₃ = 4, x₄ = 8, т. е. X₀ = {–2; 1; 4; 8}.

Область положительности функции[понятие: Область положительности функции (funktsiooni positiivsuspiirkond) – множество тех значений аргумента, при которых функция принимает положительные значения. Обозначение: 𝑋⁺.] – это множество тех значений аргумента, при которых функция принимает положительные значения. Чтобы найти область положительности функции у = f(x), нужно решить неравенство f(x) > 0.

Область отрицательности функции[понятие: Область отрицательности функции (funktsiooni negatiivsuspiirkond) – множество тех значений аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. Обозначение: 𝑋⁻.] – это множество тех значений аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. Чтобы найти область отрицательности функции у = f(x), нужно решить неравенство f(x) < 0.

Для функции f с областью определения Х ее область положительности обозначается символом X⁺, а область отрицательности – символом X^–. Для всех точек области положительности X⁺ соответствующие точки графика функции расположены выше оси Ох (рис. 2.33, а), а для всех точек области отрицательности Х^– – ниже оси Ох (рис. 2.33, б).

Рис. 2.33

Для рассмотренной на рисунке функции

X⁺ = (–2; 1) ∪ (4; 8) ∪ (8; ∞) и X^– = (–∞; –2) ∪ (1; 4).

* Полученные интервалы (–2; 1), (4; 8), (8; ∞), а также (–∞; –2), (1; 4) называют интервалами знакопостоянства функции. *

В общем случае область определения Х разбивается на три части: Х⁺, Х^– и множество нулей Х₀, т. е. X = X₀ ∪ X⁺ ∪ X^–.

Пример.

Найдем нули, область положительности и область отрицательности функции y = 4x – 2. Нули найдем, решив уравнение 4x – 2 = 0, и получим, что нулем является x = 0,5.

Область положительности найдем из неравенства 4x – 2 > 0, откуда 4x > 2, или x > 0,5. Область отрицательности определена неравенством 4x – 2 < 0, откуда x < 0,5.

Ответ: X₀ = {0,5}, X⁺ = (0,5; ∞), X^– = (–∞; 0,5).

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 451. Нули функции, ее область положительности и область отрицательности

Рис. 2.16.1

X =

Y =

X_0 =

X^+ =

X^- =

Рис. 2.16.2

X =

Y =

X_0 =

X^+ =

X^- =

Рис. 2.16.3

X =

Y =

X_0 =

X^+ =

X^- =

Рис. 2.16.4

X =

Y =

X_0 =

X^+ =

X^- =

Задание 452. Нули функции, ее область положительности и область отрицательности

y=\left(x^2-1\right)\left(x+3\right)

X_0 =

X^+ =

X^- =

y=x^4+2x^3-x-2

X_0 =

X^+ =

X^- =

y=\left|4-2x\right|-2

X_0 =

X^+ =

X^- =

y=x-\left|2x-5\right|

X_0 =

X^+ =

X^- =

Задание 453. Нули функции, ее область положительности и область отрицательности

y=5-10x

Ответ: X = ; X_0 = ; X^+= ; X^- =

y=3\left(x-4\right)

Ответ:\ X = ; X_0 = ; X^+= ; X^- =

y=4x-x^2

Ответ: X = ; X_0 = ; X^+= ; X^- =

y=3x^2+4