Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Продолжим изучение свойств функций. Заметим, что у некоторых функций на отдельных промежутках при увеличении значений аргумента, т. е. при движении по оси абсцисс слева направо, увеличиваются также и соответствующие значения функции (рис. 2.35, а). Для других же функций может быть характерным уменьшение их значений при увеличении значений аргумента (рис. 2.35, б). У некоторых функций увеличение их значений может сменяться уменьшением, и наоборот; возможны также промежутки, на которых значения функции не изменяются (то есть функция постоянна).

Рис. 2.35

Функция y = f (x) называется возрастающей[понятие: Возрастающая на интервале функция (vahemikus kasvav funktsioon) – функция называется возрастающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции.] на интервале (а; b), если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. если x₁ < x₂, то f (x₁) < f (x₂).

Функция y = f (x) называется убывающей[понятие: Убывающая на интервале функция (vahemikus kahanev funktsioon) – функция называется убывающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.] на интервале (a; b), если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. если x₁ < x₂, то f (x₁) > f (x₂).

Интервалом возрастания[понятие: Интервал возрастания функции (funktsiooni kasvamisvahemik) – интервал, на котором функция возрастает и который не содержится ни в каком большем интервале, на котором данная функция была бы также возрастающей. Обозначение: 𝑋↑.] функции называется такой интервал, на котором эта функция возрастает и который не содержится ни в каком большем интервале, на котором функция была бы также возрастающей. Аналогично определяется интервал убывания[понятие: Интервал убывания функции (funktsiooni kahanemisvahemik) – такой интервал, на котором функция убывает и который не содержится ни в каком большем интервале, на котором функция была бы также убывающей. Обозначение: 𝑋↓.] функции.

Интервал возрастания функции с областью определения Х обозначается через X\uparrow, а интервал убывания – через X\downarrow. Если таких интервалов несколько, то они нумеруются.

Пример 1. Функция, график которой изображен на рисунке 2.36, имеет три интервала возрастания (рис. 2.36, а) и два интервала убывания (рис. 2.36, б):X_1\uparrow=\left(-∞;\ -0,5\right), X_2\uparrow=\left(2,5;\ 6\right), X_3\uparrow=\left(8;\ ∞\right).X_1\downarrow=\left(-0,5;\ 2,5\right), X_2\downarrow=\left(6;\ 8\right).

Рис. 2.36

Пример 2. Функция y = –x² (рис. 2.37, а) возрастает на интервале (–∞; 0) и убывает на интервале (0; ∞). Поэтому X\uparrow=\left(-∞;\ 0\right) и X\downarrow=\left(0;\ ∞\right).

Рис. 2.37

Функция y=-\frac{2}{3}x+2 убывает на всей области определения (рис. 2.37, b). Поэтому X\uparrow=\varnothingи X\downarrow=X, т. е. X\downarrow=\left(-∞;\ ∞\right) или X↓ = R.

Функция называется возрастающей[понятие: Возрастающая функция (kasvav funktsioon) – функция, интервалом возрастания которой является вся область определения.], если ее интервалом возрастания является вся область определения.Функция называется убывающей[понятие: Убывающая функция (kahanev funktsioon) – функция, интервалом убывания которой является вся область определения.], если ее интервалом убывания является вся область определения.

На графике функции часто имеются точки особого рода – это точки, расположенные выше (или ниже) соседних с ними точек. На рисунке 2.36 таковыми являются точки с абсциссами –0,5; 2,5; 6 и 8. В этих точках оси абсцисс возрастание функции сменяется ее убыванием (или наоборот), а функция имеет наибольшее или наименьшее значение по сравнению со значениями в соседних точках. Это значение, однако, не обязательно является наибольшим или наименьшим значением функции на всей области определения. Например, значение функции в точке х = 6 является наибольшим из значений функции на интервале (2,5; 8), но не наибольшим из всех значений.

Понятие «соседних точек» раскрывается в понятии окрестности. Под а понимают любой интервал, содержащий эту точку (рис. 2.38). Обычно в качестве окрестностей точки а рассматривают интервалы (a – ε, a + ε), с центром в точке а. Например, окрестностями точки x₀ = 3 являются интервалы (2; 4), (2,5; 3,5) и т. д.

Рис. 2.38

Говорят, что в точке x₀ функция y = f (x) имеет максимум[понятие: Максимум функции (funktsiooni maksimum) – значение функции в точке максимума.], если найдется такая окрестность точки x₀, что для всех значений аргумента х из этой окрестности выполняется неравенство f (x₀) ≥ f (x). Точку x₀ называют в этом случае точкой максимума функции[понятие: Точка максимума функции (funktsiooni maksimumkoht) – точка 𝑥₀, в некоторой окрестности которой число 𝑦 = 𝑓(𝑥₀) является наибольшим из значений функции в этой окрестности.]. Говорят, что в точке x₀ функция y = f (x) имеет минимум[понятие: Минимум функции (funktsiooni miinimum) – значение функции в точке минимума.], если найдется такая окрестность точки x₀, что для всех значений аргумента x из этой окрестности выполняется неравенство f (x₀) ≤ f (x). Точку x₀ называют в этом случае точкой минимума функции[понятие: Точка минимума функции (funktsiooni miinimumkoht) – точка 𝑥₀, в некоторой окрестности которой число 𝑦 = 𝑓(𝑥₀) является наименьшим из значений функции в этой окрестности.].Точки минимума и максимума называются точками экстремума[понятие: Точки экстремума функции (funktsiooni ekstreemumkohad) – общее название точек максимума и точек минимума.], а значения функции в этих точках – экстремумами[cноска: От латинского слова extremus – крайний.] функции.

Таким образом, точки экстремума – это общее наименование точек максимума и минимума.Множество всех точек экстремума функции, заданной на множестве Х, мы будем обозначать символом X_э.Например, представленная на рисунке 2.36 функция имеет максимум в точках x = –0,5 и x = 6; минимум функция имеет в точках x = 2,5 и x = 8. Линейная функция y=-\frac{2}{3}x+2 (см. пример 2 и рис. 2.37, b) не имеет точек экстремума.

Пример 3.

Функция, график которой изображен на рисунке 2.39, имеет шесть точек экстремума, из которых x₁, x₃ и x₅, являются точками максимума, а x₂, x₄ и x₆ – точками минимума.

Рис. 2.39

Пример 4. Исследуем функцию y = x² – 2x – 3 с помощью ее графика. Нули функции есть x₁ = 3 и x₂ = –1. Графиком является парабола, вершина В которой имеет координаты x_0=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1 и y_0=1^2-2-3=-4 (рис. 2.40).

Рис. 2.40

Из рисунка видно, что функция убывает при x < 1, т. е. на интервале (–∞; 1), и возрастает при x > 1, т. е. на интервале (1; ∞). В точке x = 1 функция имеет минимум, а именно, у = –4. Следовательно, множеством значений функции является множество Y = [–4; ∞). Запишем свойства этой функции:X=\left(-∞;\ ∞\right), Y=\left[-4;\ ∞\right), X_0=\left\{-1;\ 3\right\}, X^+=\left(-∞;\ -1\right)\cup\left(3;\ ∞\right), X^-=\left(-1;\ 3\right), X\uparrow=\left(1;\ ∞\right), X\downarrow=\left(-∞;\ 1\right), причем x_{\min}=1, В(1; –4).

* Замечания.

Точку минимума иногда обозначают x_min, а точку максимума – x_max. Соответствующие минимумы и максимумы функции (т. е. значения функции в точках минимума или максимума) обозначают у_min и у_max. Если х₀ – точка минимума функции и у₀ – соответствующее значение функции, то удобно писать: min (x₀; y₀). Аналогично можно записать ответ в случае максимума: max (x₀; y₀).
Иногда рассматривают также точки экстремума графика функции[понятие: Точки экстремума графика функции (funktsiooni ekstreemumpunktid) – точки графика функции, соответствующие точкам экстремума.]. Например, в последнем примере точка Р(1; –4) является точкой минимума графика функции у = х² – 2х – 3; можно записать: min (1; –4). *

Полученные с помощью графика сведения о поведении функции могут иметь некоторую неточность. С более точными методами исследования функции мы познакомимся ниже, в главах 4 и 5.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 458. Интервалы возрастания, интервалы убывания и точки экстремума функции

Рис. 2.41,a

X\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow = X_э = x_{\min} = x_{\max} =

Рис. 2.41,б

X_1\uparrow = X_2\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow= X_э = x_{\min} = x_{\max} = иx_{\max} =

Рис. 2.41,в

X\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow = X_э = x_{\min} = x_{\max} =

Рис. 2.41,г

X_1\uparrow = X_2\uparrow = X_1\downarrow = X_2\downarrow = X_3\downarrow = X_э = x_{\min} = иx_{\min} =

x_{\max} = иx_{\max} =

Задание 459. Нули функции, ее область положительности и область отрицательности, интервалы возрастания, интервалы убывания и точки экстремума

y=x^3-2x^2

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = ; X_э = .

y=-2x^3-3x^2+x

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = ; X_э = .

y=x^3+x-6

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; X_э = .

Задание 460. Интервалы возрастания, интервалы убывания и точки экстремума функции

Функция	y=2x+7	y=-4x+1	y=4-x	y=3x-6
Интервалы возрастания
Интервалы убывания
Точки экстремума
Возрастающая или убывающая?

При каких условиях линейная функция y = ax + b является возрастающей и при каких – убывающей?

Функция	X\uparrow	X\downarrow	X_э
y=x^2-5x
y=4+3x-x^2
y=-\left(x-1\right)\left(x-7\right)
y=x^2+2x+10

Функция	y=\frac{3}{x}	y=-\frac{5}{x}
Интервалы возрастания	и	и
Интервалы убывания	и	и
Точки экстремума
Возрастающая или убывающая?