Степенной функцией[понятие: Степенная функция (astmefunktsioon) – функция 𝑦 = 𝑎𝑥ⁿ, где 𝑛 – действительное число и 𝑎 – отличное от нуля действительное число.] называется функция, заданная формулой y = axn, где a ≠ 0 и n ∈ R.
Рассмотрим, прежде всего, степенные функции с коэффициентом a = 1. Будем исследовать свойства функции у = хn в зависимости от того, какому числовому множеству принадлежит показатель степени n.
Степенная функция с натуральным показателем
Если n ∈ N и n ≠ 0, то в степень n можно возвести любое действительное число. Поэтому областью определения функции y = xn является множество R всех действительных чисел. С некоторыми такими степенными функциями с натуральным показателем мы уже знакомы.
Если n = 0, то степень х0 определена для любого числа x ≠ 0. При этом x0 = 1. Функция у = х0 определена и постоянна на множестве Х = (–∞; 0) ∪ (0; ∞), а ее графиком является параллельная оси Ох прямая у = 1 с одной „выколотой” точкой (0; 1) (рис. 2.42, а).
Если n = 1, то получим функцию y = x, ее графиком является прямая (рис. 2.42, б).
Если n = 2, то получим квадратичную функцию y = x2, ее графиком является парабола (рис. 2.42, в).
1. Функция y = x3, или кубическая функция[понятие: Кубическая функция (kuupfunktsioon) – степенная функция с показателем степени, равным 3.].
Как было отмечено, областью определения этой функции является множество R. Мы также знаем, что куб отрицательного числа есть число отрицательное, куб положительного числа есть число положительное и 03 = 0. Чем большее число возводится в куб, тем больший результат получается. Поэтому кубическая функция является возрастающей.
Чтобы начертить ее график, составим таблицу:
 | |||||||||
Рис. 2.43 |
||||||
График функции y = x3 (рис. 2.43) называется кубической параболой[понятие: Кубическая парабола (kuupparabool) – график кубической функции.]. Значения кубической функции в точках x и –x являются взаимно противоположными числами.
2.* Функция y = x4
Как известно, квадрат числа и его четвертая степень являются неотрицательными числами. Следовательно, у функции y = x4 нет области отрицательности. Кроме того, (–x)4 = x4 и потому значения этой функции в точках x и –x равны. График функции y = x4 называется параболой четвертого порядка (рис. 2.44, а). Этот график симметричен относительно оси ординат. Напомним, что таким же свойством обладает график функции y = x2. На рисунке 2.44, б) изображены графики обеих функций y = x2 и y = x4.
3.* Функция y = x2n, n ∈ Z+
Степенная функция такого вида имеет четный положительный показатель степени a = 2n. Так как (+x)2n = (–x)2n, то графики всех таких функций симметричны относительно оси ординат. Все функции вида y = x2n, n ∈ Z+, имеют следующие одинаковые свойства (рис. 2.45, а):
X = R Y = [0; ∞) | X+ = (–∞; 0) ∪ (0; ∞) X– = ∅ X0 = {0} | X↑ = (0; ∞) X↓ = (–∞; 0) |
Рис. 2.45,a |
||||||
4.* Функция y = x2n+1, n ∈ Z+
Такие степенные функции имеют нечетный положительный показатель степени, т. е. 3, 5, 7, … . Так как (–x)2n+1 = –x2n+1 то значения функции в точках x и –x отличаются только знаком. Все функции y = x2n+1, n ∈ Z+, имеют следующие одинаковые свойства (рис. 2.45, б):
X = R Y = R | X+ = (0; ∞) X– = (–∞; 0) X0 = {0} | X↑ = (–∞; ∞) X↓ = ∅ |
Рис. 2.45,б |
||||||
Степенная функция с целым отрицательным показателем
Общий вид такой функции есть y = x–n, где n ∈ Z+. Эту формулу можно записать и в виде
1. Функция , или
Эта функция принимает только положительные значения. Поэтому Y = (0; ∞) и X+ = X. Так как f (–x) = f (x), то график симметричен относительно оси Оу. Если
Рис. 2.47,a |
||||||
2.* Функция , или
Рассматриваемая функция принимает отрицательные значения при отрицательных значениях x и положительные – при положительных значениях x. Значения функции в точках x и –x являются взаимно противоположными числами. Если
Рис. 2.47,б |
||||||
Упражнения A
Задание 465. Степенные функции
Ответ: графики всех степенных функций проходят через точку (; ).
Задание 466. График степенной функции
Задание 467. График степенной функции
Упроажнения Б
Задание 468. График степенной функции
- Как из графика функции y = x2 получить график функции y = –x2?
- Начертите график функции y = –x4, пользуясь графиком функции y = x4.
- Начертите график функции y = –x3, пользуясь графиком функции y = x3.
Задание 469. График степенной функции
Ответ:
Задание 470. График степенной функции
Ответ:
Задание 471.* Графики степенных функций
- x4 > x6?
Ответ: если x ∈. - x4 < x6?
Ответ: если x ∈.
Как будет расположен в той же системе координат график функции y = x8?
Задание 472.* Графики степенных функций
- x3 > x5?
Ответ: если x ∈. - x3 < x5?
Ответ: если x ∈.
Как будет расположен в той же системе координат график функции y = x7?
Задание 473.* Графики степенных функций
0,53 73
0,94 (–5)4
(–1,5)3 1,43
1,37 2,47
(–6)5 (–4)5
(–6)4 (–4)4
