Степенная функция с рациональным показателем

В разделе 2.13 мы изучили степенные функции y=ax^n с целым показателем n. Рассмотрим теперь степенную функцию с рациональным показателем. Для этого сначала рассмотрим функцию y=\sqrt[n]{x}.

Функция y = x², рассматриваемая на множестве R всех действительных чисел, не имеет обратной функции (§ 2.16, пример 2), так как равным по модулю, но разным по знаку значениям х (x ≠ 0) соответствуют равные значения функции. Однако функция y=x^2, рассматриваемая только на множестве X = [0; ∞), является возрастающей (рис. 2.61, в) и потому имеет обратную функцию y=\sqrt{x}, или y=x^{\frac{1}{2}} (рис. 2.65, a). Функция y=x^3 возрастает на всей области определения X = R, и ее обратной функцией является y=\sqrt[3]{x}, или y=x^{\frac{1}{3}} (рис. 2.65, б). Аналогично можно определить функцию y=\sqrt[n]{x} или y=x^{\frac{1}{n}}, для любого натурального числа n > 1.

Функция у = х^а с рациональным показателем[понятие: Степенная функция с рациональным показателем (juurfunktsioon) – степенная функция 𝑦 = 𝑥ʳ, где показателем степени является рациональное число (𝑟 = 𝑚/𝑛), причем 𝑚 – целое число и 𝑛 – натуральное число, большее 1.] a=\frac{m}{n} определяется равенством y=\sqrt[n]{x^m}, где m ∈ Z, n ∈ Z⁺, n > 1.